El mapa canónico del álgebra de grupo al conjunto de endomorfismos de un espacio vectorial es suryente

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito. Supongamos que $\pi:G \rightarrow GL(V)$ sea una representación irreducible de $G$ . Esta representación da un mapa canónico $$\tilde{\pi}: \mathbb{C}[G] \rightarrow End(V)$$ donde End(V) denota el conjunto de mapas lineales sobre $V$ . Demostrar que $\tilde{\pi}$ es sobreyectiva. No tengo ninguna pista sobre la solución. Hay una pista dada que si consideramos por el contrario que $\tilde{\pi}$ no es suryectiva obtendremos un funcional lineal sobre $End(V)$ que es cero en la imagen de $\tilde{\pi}$ , lo que contradice algún tipo de relación de ortogonalidad. No tengo ni idea de a dónde lleva esta pista. Tampoco tengo otra idea para resolver. Un poco de ayuda será apreciada.

¡¡¡¡Gracias de antemano!!!!

Answer 1

Supongo que esta no es la solución prevista, pero aun así quiero señalar que el resultado se puede obtener a partir del Teorema de Artin-Wedderburn que explica la estructura de las álgebras semisimples. El álgebra de grupo $\mathbb{C}G$ es un álgebra semisimple y como tal es el producto directo de álgebras simples. Cada una de ellas es isomorfa a $\mathbb{C}^{n \times n}$ para algunos $n$ y cada una de ellas corresponde a una representación irreducible. De hecho, $\mathbb{C}^n$ con su acción habitual es un simple $\Bbb{C}^{n \times n}$ -módulo. La representación correspondiente es esencialmente el mapa de identidad $\mathbb{C}^{n \times n} \cong \text{End}(\Bbb C^{n})$ . Así, el isomorfismo $\mathbb{C}G \cong \prod_{i = 1}^h \mathbb{C}^{n_i \times n_i}$ no es otra cosa que el mapa $\Bbb{C}G \to \prod_{i = 1}^h \text{End}(\Bbb C^n)$ . Al ser una biyección, las proyecciones $\Bbb{C}G \to \text{End}(\Bbb C^n)$ son suryentes.