La recurrencia de la relación de una función con un integrante de la función?

Question

Perdón por mi falta de tex habilidades, pero ¿cuál es el procedimiento recomendado en el siguiente escenario:

$$g(f) = 1+\int_0^{1-f} g\left(\dfrac{f}{1-x}\right)\,dx$$

No estoy seguro de cómo proceder en tal escenario. Mi expresión es más complicado, pero que es la esencia del concepto estoy luchando.

también, sabemos que g(1) = 1

Estoy pensando en algún tipo de Leibniz enfoque, pero soy un ingeniero de formación, así que estoy fuera de mi profundidad.

edit: Si la sobre simplificación no tiene solución/no se presta bien a un ejemplo, aquí está la cosa real:

$$g(f) = [1-(1-f)^{2}] + 2\int_0^{1-f} (1+g\left(\dfrac{f}{1-x}\right))x\,dx$$

Answer 1

He aquí una solución para la versión simplificada. Hay una gran cantidad de milagrosa cancelación así que tal vez alguien pueda encontrar una forma más elegante de ataque.

La derivada de la RHS (con respecto a $f$) tiene dos partes (usted podría ver esto como una aplicación de la multivariable regla de la cadena):

$$\frac{d}{df} \int_0^{1-f} g\left(\dfrac{f}{1-x}\right)\,dx = -g\left(\frac{f}{1-(1-f)}\right) + \int_0^{1-f} g'\left(\frac{f}{1-x}\right) \frac{1}{(1-x)}\,dx$$ $$= -1 + \int_0^{1-f} g'\left(\frac{f}{1-x}\right) \frac{1}{(1-x)}\,dx.$$

Uno puede entonces aplicar la integración por partes para esta nueva integral con el hecho de que $$\frac{d}{dx} g\left(\frac{f}{1-x}\right) = g'\left(\frac{f}{1-x}\right) \frac{f}{(1-x)^2}.$$ Esto le da $$\int_0^{1-f} g'\left(\frac{f}{1-x}\right) \frac{f(1-x)}{f(1-x)^2}\,dx = \frac{1-x}{f} g\left(\frac{f}{1-x}\right) \Bigg|_{x=0}^{1-f} + \int_0^{1-f} \frac{1}{f} g\left(\frac{f}{1-x}\right)\, dx$$ $$= 1 - \frac{g(f)}{f} + \frac{1}{f}\left(g(f)-1\right) = 1 - \frac1f.$$

Esto significa que la derivada de la RHS (que también es igual a $g'(f)$) es $-1/f$, lo $g(f) = 1 - \ln f$. Esto parece satisfacer a la original (simplificado) de la ecuación.