¿Cómo puede haber auténticos modelos de la teoría de conjuntos?

Question

Sé que se trata de una pregunta de principiante formulada demasiadas veces, pero sigo sin obtener una respuesta que me permita dejar de preguntar:

Dado que un modelo/interpretación de una teoría (en el sentido tarskiano) es un configure w estructura, ¿cómo puede haber modelos de teoría de conjuntos , la clase de todos los conjuntos (el rango de los cuantificadores de la teoría de conjuntos) no es un conjunto? ¿no es un conjunto?

Me pregunto especialmente por qué

a) se insiste tanto y con tanta fuerza en que los modelos deben ser conjuntos?

b) no obstante, ¿se permiten a veces clases propiamente dichas? (véase Wikipedia Teoría del modelo interior : "los modelos son subconjuntos o subclases transitivos")

Answer 1

Me pregunto especialmente por qué

a) se insiste tanto y con tanta fuerza en que los modelos deben ser conjuntos?

Hay varias razones por las que los textos de teoría de modelos sólo analizan los modelos que son conjuntos. Todas estas razones están relacionadas con el hecho de que la propia teoría de modelos se estudia utilizando alguna teoría de conjuntos (normalmente informal).

Una de las ventajas de ceñirse a los modelos de tamaño de conjunto es que esto permite realizar operaciones algebraicas con los modelos, como tomar productos y ultrapoderes, sin tener que preocuparse por la teoría de conjuntos.

Otra ventaja de exigir que los modelos sean conjuntos es que permite definir la relación de satisfacción $\vDash$ para cada modelo. En otras palabras, dado un modelo $M$ en un idioma $L(M)$ queremos formar $T(M) = \{ \phi \in L(M) : M \vDash \phi\}$ . Esto puede hacerse cuando $M$ es un conjunto, pasando por la forma normal de Skolem. Pero no se puede hacer, en general, cuando $M$ es una clase propia, debido al teorema de indefinibilidad de Tarski. En particular, si dejamos que $M$ sea el modelo del tamaño de la clase $V$ del lenguaje de la teoría de conjuntos entonces el teorema de Tarski muestra que $T(M)$ no es definible en $V$ . Podemos definir la verdad de cada fórmula individual (utilizando la propia fórmula) pero, en general, puede que no exista una definición global de la verdad en un modelo del tamaño de una clase propia.

Además, en la teoría de modelos, no hay necesidad real de buscar modelos del tamaño de una clase propia, porque ya hay suficiente comportamiento interesante en los modelos del tamaño de un conjunto. Los ejemplos motivadores son todos los conjuntos (estructuras algebraicas, órdenes parciales, etc.). Y el teorema de completitud muestra que cualquier teoría consistente tiene un modelo del tamaño de un conjunto (esto incluye ZFC). Por tanto, los teóricos de modelos suelen limitarse a modelos del tamaño de conjuntos.

b) no obstante, ¿se permiten a veces clases propiamente dichas?

Generalmente, la gente sólo se interesa por los modelos de tamaño de clase propio en el contexto de la teoría de conjuntos. La razón de este interés es que ZFC no puede demostrar que exista un modelo de conjuntos de ZFC (porque ZFC no puede demostrar Con(ZFC)), pero es posible formar modelos de tamaño de clase propio de ZFC a partir de un modelo de tamaño de clase propio dado de ZFC (por ejemplo, el modelo interior $L$ ). Esto permite obtener algunos resultados teóricos de modelos sobre la teoría de conjuntos, pero muchas cosas que se dan por sentadas en la teoría de modelos tienen que volver a comprobarse cuando pasamos a modelos de tamaño de clase propio. En general, esta nueva comprobación suele ser rutinaria y sólo se plantea en entornos avanzados, en los que no es probable que el autor haga un gran alboroto al respecto. La ventaja de este trabajo es que a veces podemos evitar tener que asumir Con(ZFC) como hipótesis para un teorema sobre modelos de teoría de conjuntos.

En resumen, en cualquier contexto no teórico de conjuntos, "modelo" significará "modelo del tamaño de un conjunto". En el contexto de la teoría de conjuntos, esto sigue siendo lo que suele significar "modelo"; se suele decir "modelo interno" o "modelo de clase" para un modelo propio del tamaño de una clase. Pero es necesario prestar cierta atención al contexto cuando se trabaja con "modelos" de la teoría de conjuntos para asegurarse de que se lee lo que el autor pretendía.

Answer 2

Algunos comentarios. La distinción básica que hay que hacer es entre las nociones externa e interna de conjunto. Daré por supuesta una noción primitiva e indeterminada de conjunto: ésta será nuestra externo noción de conjunto. Para cualquier teoría de primer orden $T$ en un idioma $L$ un modelo de $T$ es un conjunto (en este sentido externo) dotado de funciones y relaciones que satisfacen los axiomas apropiados, etc. En particular, un modelo de, digamos, ZFC es un conjunto $M$ equipado con una relación binaria que satisface, etc., etc.

(Exigir que los propios modelos sean conjuntos es probablemente una cuestión de conveniencia. En la teoría de categorías este requisito puede ser restrictivo, y una forma de evitarlo es la noción de a Universo Grothendieck . Pero no diré más sobre esto; no es fundamental para su malentendido).

Ahora los elementos $m \in M$ de un modelo de teoría de conjuntos se supone que deben interpretarse como conjuntos, pero la palabra "conjunto" significa aquí algo diferente: es un interno noción especificada por $T$ (y $L$ ). Para evitar confusiones aquí lo mejor sería sustituir "conjunto" por alguna otra palabra, como "foo". Así, deberíamos hablar de la teoría foo y de la clase de todos los foos, que no es un foo. (Una clase no es más que un externo subconjunto de $M$ especificado por alguna fórmula).

Cuando decimos que la clase de todos los conjuntos no es un conjunto, lo que queremos decir es que no existe un elemento de $M$ que contiene todos los demás elementos de $M$ (por el axioma de regularidad ). Nosotros no significa que $M$ no es a su vez un conjunto externo, porque es por definición un conjunto externo.

Creo que el artículo de Wikipedia sobre los modelos internos se refiere a las clases internas (que siguen siendo sólo elementos de $M$ un conjunto externo), pero no estoy seguro.

Una última cosa: ZFC no es capaz de demostrar un modelo de ZFC (ya que esto demuestra que ZFC es consistente) a menos que sea inconsistente por el teorema de incompletitud.

Answer 3

El uso de la palabra "genuino" en el título de la pregunta me hace preguntarme si también existen modelos "falsos" de teoría de conjuntos. Hay varios candidatos. Digamos que un modelo de teoría de conjuntos es estándar sólo si el $\in$ de ese modelo corresponde exactamente a la $\in$ relación del universo en el que trabajamos. De lo contrario, decimos que el modelo es no estándar .

¿Existen modelos estándar? Bueno, la respuesta depende de varios puntos técnicos. Para empezar, si una teoría de conjuntos consistente $T$ es lo suficientemente potente como para interpretar la aritmética, entonces el teorema de incompletitud de Gödel nos dice que $T$ no puede pruebe que existe un configure modelo de $T$ estándar o no estándar. Esto se debe a que una prueba de la existencia de tal modelo implicaría que $T$ demuestra su propia coherencia. (Por otro lado, si nuestro universo obedece los axiomas de $T$ obviamente contiene una norma clase modelo de $T$ a saber, ella misma). Supongamos, en cambio, que trabajamos en un universo que satisface los axiomas de una teoría de conjuntos diferente $T'$ . (¡Sí, hay teorías de conjuntos no equivalentes!) ¿Podríamos entonces demostrar la existencia de un modelo de conjunto estándar de alguna teoría de conjuntos (necesariamente más débil) $T$ ? A veces, sí: por ejemplo, a partir de los axiomas de ZFC podemos demostrar que existe un modelo de conjunto estándar para la teoría de conjuntos de Zermelo, a saber $V_{\omega + \omega}$ . Esto también puede convertirse en un modelo para la teoría elemental de la categoría de conjuntos (ETCS) de Lawvere, que es equivalente a una variante de la teoría de conjuntos de Zermelo en la que el axioma de separación se restringe a predicados con cuantificadores acotados.

Como se menciona en los comentarios, si $T'$ es ZFC aumentada con un axioma cardinal grande adecuado, entonces será demostrable a partir de $T'$ que existe un modelo de conjunto estándar de ZFC. Esto no es tan misterioso cuando se piensa en ello. Definamos el rango de un conjunto inductivamente como sigue: el rango de $\emptyset$ es $0$ ; si $x$ tiene rango $\alpha$ entonces $\mathcal{P}(x)$ tiene rango $\alpha + 1$ y, en general, el rango de $x$ es el menor número ordinal mayor que los rangos de todos sus miembros. Por inducción estructural, todo conjunto tiene un rango, y no es difícil demostrar que el rango de un ordinal de von Neumann $\alpha$ es de nuevo $\alpha$ . Esto implica inmediatamente que una colección de conjuntos de rango no limitado no puede ser un conjunto. Por lo tanto, si a configure $M$ es un modelo estándar de ZFC, sólo puede contener los ordinales menores que su rango. Pero $M$ debe contener todos los conjuntos que ZFC puede demostrar que existen, y eso significa que nuestro universo debe contener ordinales, y por lo tanto, cardinales, cuya existencia no está garantizada por ZFC. [Pero, ¿implica cada axioma cardinal grande la existencia de tal modelo estándar $M$ ?]

¿Y los modelos no estándar? Bueno, aquí las cosas son mucho más fáciles. Por ejemplo, el teorema de completitud de Gödel nos dice que si una teoría de primer orden $T$ es coherente, entonces existe un modelo de conjunto para él. Además, si $T$ es una teoría sobre un lenguaje contable, entonces el teorema descendente de Löwenheim-Skolem nos dice que $T$ tiene un modelo contable. Es útil contemplar lo que esto significa cuando $T$ es una teoría de conjuntos, porque nos obliga a tener absolutamente clara la distinción entre el universo en el que vive el modelo y el universo dentro del modelo. Así pues $M$ sea un modelo contable de la teoría de conjuntos. Dado que $M$ es contable, también podemos suponer que es $\mathbb{N}$ . Entonces, ¿cómo puede ser el conjunto de los números naturales un modelo de la teoría de conjuntos? Pues bien, la clave está en que $M$ está dotada de una relación $\in_M$ también. En efecto, lo que estamos haciendo es indexar los conjuntos (¡pero no "todos"!) por números naturales, y $\in_M$ está haciendo un seguimiento de sus relaciones con los afiliados. Porque $M$ es un modelo de teoría de conjuntos, contiene un conjunto de números naturales $\mathbb{N}_M$ . No es difícil demostrar que la estructura interna de $\mathbb{N}_M$ según $\in_M$ corresponde exactamente a la estructura interna del "auténtico $\mathbb{N}$ . (Bueno, con algunas suposiciones de consistencia añadidas.) Y por supuesto hay un conjunto de potencia $\mathcal{P}_M(\mathbb{N}_M)$ que según $M$ es incontable. Evidentemente, $\mathcal{P}_M(\mathbb{N}_M)$ es "realmente" contable, porque $M$ es. ¿Cómo es posible? Bueno, si nos fijamos en cómo $M$ nos damos cuenta de que $M$ sólo está obligado a tener los conjuntos que debe estar allí. Pero como el lenguaje de la teoría de conjuntos es sólo contable, sólo podemos nombrar contablemente muchos conjuntos, y en particular $\mathcal{P}_M(\mathbb{N}_M)$ sólo contiene los subconjuntos de $\mathbb{N}_M$ que necesariamente "existen". Del mismo modo, puesto que la teoría de conjuntos demuestra que no hay biyección entre $\mathbb{N}$ y su conjunto de potencias, no puede existir tal biyección dentro de $M$ aunque los conjuntos sean "realmente" equinuméricos. (Para ser precisos, aunque podamos ver externamente que debería haber una biyección, el gráfico de cualquier biyección que podamos imaginar no será un conjunto en $M$ .)

Quizá la moraleja de todo esto sea que el universo de los decorados es una bestia sutil a la que hay que tratar con cuidado.

Answer 4

Es una pregunta que yo también me hago. Hice este CW porque no estoy seguro de que esto constituya una respuesta satisfactoria, y no intento responder a preguntas $(a)$ y $(b)$ .

Supongamos que tienes un modelo de teoría de conjuntos $(U,\in_0)$ : permite definir $\subset_0$ inclusión de conjuntos y productos de conjuntos $A\times_0 B$ intersecciones $\cap_0$ etc $\dots$ en el sentido de $\in_0$ . Una forma esclarecedora de imaginar $(U,\in_0)$ es como un grafo orientado infinito ( Teoría de conjuntos de J.-L. Krivine adopta esa postura).

Si $M$ es un modelo de la teoría de conjuntos (es decir $M$ es un conjunto de $U$ es decir, un punto del gráfico infinito $U$ con una relación binaria $\in_M\subset_0 M\times_0 M$ otro punto del grafo infinito $U$ que en conjunto obedecen todos los axiomas de $\mathsf{ZF}$ ), la interpretación $\in_M$ de la relación binaria $\in$ de la lengua de $\mathsf{ZF}$ no tiene por qué coincidir con $\in_0$ : puede ser (tal vez tenga que ser) que $\in_M\neq (M\times_0 M)\cap_0\in_0$ .

De todos modos, establece en el modelo $(M,\in_M)$ son por definición el $\in_0$ elementos de $M$ . Puesto que por fundamento $M\notin_0 M$ , $M$ no es un conjunto en el sentido de $\in_M$ Eso es, $M$ no es un conjunto en el modelo $(M,\in_M)$ . Así que el $(U,\in_0)$ configure $M$ constituye la clase de conjuntos del modelo $(M,\in_M)$ Sin embargo, es no un conjunto en ese nuevo modelo.

Creo que esto se reduce a que "los conjuntos de un modelo no tienen por qué ser conjuntos de otro".