Las ecuaciones funcionales $f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}$.

Question

Supongamos $f$ es continua y $f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}$. Podemos aducir que el $f(x)=kx$?

Lo que si $f$ sólo satisfacer $f(x)=\frac{f\left(\frac{2}{3}x\right)+f\left(\frac{4}{3}x\right)}{2}$?

Este funcional de la ecuación fue llamado Jensen la ecuación en la wiki, pero no hay mayor discusión al respecto

Answer 1

No (para la primera ecuación).

Pero podemos decir $f(x)=ax+b$ (y todas las funciones de la forma de satisfacer la ecuación).

Deje $f$ ser cualquier función que satisface la ecuación funcional. Luego de esto sigue siendo cierto si reemplazamos $f$$x\mapsto f(x)-f(0)-x(f(1)-f(0))$, es decir, podemos suponer que wlog. que $f(0)=f(1)=0$. Deje $S=\{\,x\in \Bbb R\mid f(x)=0\,\}$. Hasta el momento hemos $0\in S$, $1\in S$. También, $x\in S\iff \frac x2\in S$. El uso de que, si dos de $x,y,x+y$$S$, por lo que es el tercero. De ello se desprende que $S$ es un denso subgrupo de $\Bbb R$. Por la continuidad de $f$, $S=\Bbb R$.

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La respuesta es "No" para la segunda pregunta, pero por diferentes razones: Existen algunas soluciones que son no muy lejos de la forma dada. La más simple "inusual" la solución es $f(x)=|x|$.

Answer 2

Para el primer problema, corregir $x, y \in \Bbb{R}$ y definir el conjunto $S_{x,y}$ por

$$S_{x,y} = \{\lambda \in [0, 1] : f(\lambda x + (1-\lambda) y) = \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y) \}. $$

Podemos comprobar fácilmente que $0, 1 \in S_{x,y}$ e si $\alpha, \beta \in S$$\frac{\alpha+\beta}{2} \in S_{x,y}$. Sigue inmediatamente que todos los diádica racionales (es decir, racionales de la forma $k/2^n$ algunos $k \in \Bbb{Z}$$n \geq 0$)$[0, 1]$$S_{x,y}$. Por la continuidad de $f$, esto implica $S_{x,y} = [0, 1]$.

Esto es suficiente para concluir que $f$ es de la forma $f(x) = ax + b$.

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Para el segundo problema, cambiar el parámetro a poco le da un lugar por tramos lineales ejemplo. En efecto, consideremos la ecuación funcional

$$ f(x) = \frac{f(\alpha x) + f(\beta x)}{2}, \qquad \forall x \in \Bbb{R} \tag{*}$$

donde $f$ es continua, $\alpha \in (0, 1)$$\alpha + \beta = 2$. Si elegimos $\beta = \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (que es el cociente de oro), a continuación, $\alpha = \phi^{-2}$ y la siguiente función

$$ f(x) = |x|^{1+2\pi i/\log \phi} $$

resuelve la ecuación funcional $\text{(*)}$.

Creo que este tipo de solución no aparece en nuestro caso $\alpha = \frac{2}{3}$ desde el set $\{\alpha^k \beta^l\}_{k, l \in \Bbb{Z}}$ ahora es denso en $[0,\infty)$. Pero yo no tengo ninguna buena idea para empezar.