Mostrar que$e^z$ es continuo en$\mathbb{C}$

Question

Sé que $e^z$ es continua en a$\mathbb{R}$, pero ¿cómo puedo mostrar este rigurosamente $\mathbb{C}$ el uso de la $\epsilon - \delta$ definición de continuidad?

Sé cómo empezar:

Si $|z - z_0| < \delta$ a continuación, queremos $|f(z) - f(z_0)| < \epsilon$.

Trabajar hacia atrás, sé que queremos básicamente jugar con $|f(z) - f(z_0)| = |e^z - e^{z_0}|$ y, a continuación, recoger $\delta$ tener alguna relación con $\epsilon$ , de modo que obtenemos la desigualdad.

Sin embargo, estoy teniendo un tiempo difícil averiguar cómo proceder con la expansión de la $|e^z - e^{z_0}|$ en un camino que me lleva a un punto donde puedo conseguir $|z - z_0|$ a aparecer en algún lugar.

Answer 1

Idea: $$ | e ^ z - e ^ {z_0} | \ le | e ^ x - e ^ {x_0} || \ cos y + i \ sin y | + e ^ {x_0} | (\ cos y + i \ sin y) - (\ cos y_0 + i \ sin y_0) | \ le \ cdots $$ ¿Puede continuar?

Answer 2

1) $a+bi \rightarrow A+Bi $ iff $a\rightarrow A$ y $ b \ rightarrow B $

2) $$ |e^{a+bi} -e^{A+Bi}| =| e^{A+Bi}| |e^{a-A}e^{(b-B)i} - 1|$ $

$$ | e ^ {aA} e ^ {(bB) i} - 1 | \ leq | e ^ {aA} \ cos \ (bB) -1 | + | e ^ {aA} \ sin \ (bB) | $$

$e^x,\ \cos\ x,\ \sin\ x$ son continuos para que se siga la prueba

Answer 3

Tenga en cuenta que $$e^w-e^z=e^z(e^{w-z} - 1)$$ and if $h=w-z=x+iy$ then $$e^h-1=e^x\cos y-1+ie^x\sin y=(e^x-1)\cos y+\cos y-1+ie^x\sin y$$ Using the fact that $|\sen x|\leq |x|$ for $|x|<1$ we get $|1-\cos y|\leq|y^2|/2<|y|$ if $|y|<1$ and then $$|e^h-1|\leq |e^x-1|+|y|+e^{|x|} |y|$$ Next we can use the inequality $$1+t\leq e^t\leq \frac{1}{1-t}, 0<t<1$$ to show that if $|x|<1/2,|y|<1/2$ then $$|e^x-1|<2|x|,e^{|x|}|y|<2|y|$$ and therefore if $|x|<1/2,|y|<1/2$ then $$|e^h-1|<3(|x|+|y|)$$ Now let $M=|e^z|$ and $\epsilon>0$ be given. And let's choose $\delta=\min (1/2,\epsilon/6M)$ then for all $w$ with $|h|=|w-z|<\delta$ we have $$|e^w-e^z|=|e^z||e^h-1|=M|e^h-1|<3M(|x|+|y|)<6M\delta\leq \epsilon$$ because $|x|\leq |h|<\delta, |y|\leq |h|<\delta$. This proves the continuity of $f(z) =e^$ at an arbitrary point $z\in\mathbb {C} $.

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La prueba es mucho más sencillo si asumimos el poder de la serie para $e^z$ para luego tenemos $$|e^h-1|\leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{|h|^k} {k!} \leq \sum_{k=1}^{\infty}|h|^{k}=\frac{|h|}{1-|h|}<2|h|$$ if $|h|<1/2$.