Problema de ecuación polinomial con raíces complejas

Question

¿Cómo podría uno encontrar las raíces complejas o imaginarias de cualquier ecuación como

PS

Una de sus raíces es$$x+\sqrt[3]{x}-2=0$, pero ¿cuáles son las otras / s?

Answer 1

Uno puede hacer la sustitución de $t^3=x$, de modo que la ecuación se convierte en un cúbicos en $t$: $$t^3+t-2=0$$ Como usted dice, $x=1\iff t=1$ es una solución, por lo que podemos dividir el polinomio en el $t$ $t-1$ para obtener una ecuación cuadrática (os dejo la división larga o factoring). Y el resultado es una ecuación cuadrática puede ser resuelto por la fórmula cuadrática (o factoring si su bastante fácil).

Así que usted puede comprobar su división larga: la resultante cuadrática debe ser $$t^2+t+2$$, y esto ha discriminante negativo por lo que tiene raíces complejas.

A continuación, usted sólo tiene que utilizar $x=t^3$ para obtener las soluciones en $x$.

Answer 2

Dejar $\sqrt[3]{x}=t$.

Por lo tanto, tenemos:$$t^3+t-2=0$ $ o:$$t^3-t^2+t^2-t+2t-2=0$ $ o:$$(t-1)(t^2+t+2)=0,$ $ que da:$$\sqrt[3]{x}=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt7}{2}i$$ or: $ x = 1 $.

Answer 3

escriba$$\sqrt[3]{x}=2-x$ $ y suba a la potencia tres su ecuación es equivalente a$$-(x-1) \left(x^2-5 x+8\right)=0$ $