¿Es este el esquema no afín más pequeño?

Question

Ejercicio I. XXV. de el libro de la Geometría de los Esquemas por Eisenbud y Harris afirma que los más pequeños no afín esquema tiene tres elementos construidos y topología de la gavilla. Pero me pregunto si esto es realmente el más pequeño no afín esquema, por lo que he probado con los dos elementos ejemplo:

Si definimos $X=\{p,q\}$ con la topología discreta, y si $\mathscr O(X)=\mathscr O(\{p\})=\mathscr O(\{q\})=\text{ a field } K$ mientras $\mathscr O(\phi)=\{0\}$, y las restricciones son de la identidad o de la evidente mapa, $X$ está cubierto por la afín a sistemas, de modo que el par $(X,\mathscr O)$ formas de un esquema, pero obviamente no es afín.

Así que es el de arriba construido esquema de los más pequeños no afín a uno, como se pretende?
Cualquier inapropiado punto debe ser localizada, y gracias de antemano.

Answer 1

El problema es que su estructura gavilla se ve fácilmente a no ser una gavilla.

Deje $k_1,k_2\in K$ pensamiento de como secciones sobre $\{p\}$ $\{q\}$ desde $\{p\},\{q\}$ es una cubierta abierta de a $X$ y claramente las secciones $k_1$ $k_2$ está de acuerdo en la solapa, de modo que existe $k\in \mathscr O(X)$$\rho_{X\rightarrow\{p\}}(k)=k_1$$\rho_{X\rightarrow\{q\}}(k)=k_2$. Pero por escoger otra $k_3 \in \mathscr O(\{p\})$ podemos mostrar a $\rho_{X\rightarrow\{q\}}$ no es inyectiva, lo cual es una contradicción ya que es una de morfismos de un campo.

Dados cualesquiera dos puntos discretos plan (los que no se discretos esquema sólo ha trivial abra las cubiertas de modo que es afín) , podemos ver $\mathscr O(\{p\})=\mathscr O_p$ por cada $p$. Por eso, $\mathscr O(\{p\})$ es local. Considerar el mapa de $\phi :\mathscr O(\{p\})\times \mathscr O(\{q\}) \rightarrow \mathscr O(X)$. Donde $\phi(r,s)$ es la única sección de $\mathscr O(X)$ que restringe a$r$$s$, respectivamente, en $\mathscr O(\{p\})$$\mathscr O(\{q\})$, (nota: esta sección existe y es único por la gavilla de la propiedad). Este mapa es claramente un anillo de morfismos y inyectiva (y bien definida por la singularidad de la sección), es claramente surjective así como cualquier sección global $s$ restringe a$r_1 \in \mathscr O(\{p\})$$r_2\in \mathscr O(\{q\})$. Por definición,$\phi(r_1,r_2)=s$, por lo que se hacen. Así que cualquiera de los dos sistema de puntos es afín. Es trivial para mostrar cualquier sistema de puntos es afín. Así que los más pequeños no afín esquema tiene tres puntos.

Este argumento, junto con algunos de inducción muestra $$\bigsqcup_{i=1}^n\operatorname{Spec} R_i\cong \operatorname{Spec} \prod_{i=1}^n R_i$$, que no debe ser sorprendente. Lo que es verdaderamente sorprendente es que esta falla por cualquier infinita como cardenal $\bigsqcup_{i=1}^\infty\operatorname{Spec} R_i$ no es quasicompact sino $\operatorname{Spec}\prod_{i=1}^n R_i$ es.