Supongamos $\{n_i\}_{i=1}^k$ son parejas prime números naturales, $a_1,\dots,a_k,b_1,\dots,b_k$ son enteros, y $d_i = \gcd(a_i,n_i)$$i=1,\dots,k$. Quiero demostrar que existe un entero $z$ tal que $a_i z \equiv b_i \mod n_i$ $i=1,\dots,k$ si y sólo si $d_i \mid b_i$$i=1,\dots,k$.
Esto es lo que he hecho hasta ahora:
"$\Rightarrow$" Supongamos que existe un entero $z$ tal que $a_i z \equiv b_i \mod n_i$$i=1,\dots,k$. Luego de algunos entero $s_i$, $b_i = a_iz + n_is_i$. Como $b_i$ se puede escribir como una combinación lineal de $a_i$ y $n_i$, $b_i \in a_i\mathbb{Z} + n_i\mathbb{Z} = d_i\mathbb{Z}$. Como $b \in d_i\mathbb{Z}$, $d_i$ debe dividir b_i para $i = 1,\dots,k$.
"$\Leftarrow$" Supongamos $d_i \mid b_i$$i=1,\dots,k$. Desde $d_i = \gcd(a_i,n_i)$ $d_i \mid b_i$ entonces existe enteros $p_i,q_i$ tal que $b_i = a_ip_i + n_iq_i$, y por lo $b_i \equiv a_ip_i \mod n_i$. Como $d_i = \gcd(a_i,n_i)$, $d_i \mid a_i$ y $d_i \mid n_i$; también se $d_i \mid b_i$, por lo que $a_i'=a_i/d_i$, $b_i'=b_i/d_i$, y $n_i'=n_i/d_i$ son enteros; tenga en cuenta que como $\{n_i\}_{i=1}^k$ son parejas prime números naturales, $\{n_i'\}_{i=1}^k$ también deben ser pares prime números naturales. Adicionalmente $a_i'$ $n_i'$ son relativamente primos de modo que existe $(a_i')^{-1}$ tal que $(a_i')^{-1}a_i' \equiv 1 \mod n_i'$, lo $p_i \equiv b_i'(a_i')^{-1} \mod n_i'$. (atascado aquí)
No creo que mi enfoque para "$\Leftarrow$" es lo correcto, como no tengo manera de demostrar que cada una de las $p_i$ son equivalentes. Puede alguien sugerencia en lo que mi siguiente paso debe ser o el punto en el que me debe abandonar el trabajo que sigue y comenzar con una nueva dirección? La sección de mi libro de texto esto es desde Teorema del Resto Chino, así que estoy seguro de que necesito para solicitar que en la segunda mitad de la prueba; simplemente no estoy seguro de cómo llegar a ese punto.
Editar:
Puedo tomar y decir que por el Teorema del Resto Chino para $a_i'=a_i/d_i$, $b_i'=b_i/d_i$, $n_i'=n_i/d_i$, y $(a_i')^{-1}$ como se definió anteriormente, existe un entero $z$ tal que $z \equiv (a_i')^{-1}b_i' \mod n_i'$$i = 1,\dots,n$, y por lo $a_i'z \equiv b_i' \mod n_i'$. Luego multiplicando por $d_i$, $a_iz \equiv b_i \mod n_i$, completando así la prueba? Estoy un poco cansado de esto debido a que sólo el desguace de todas las $p_i$.
