Dejemos que $\mathbb{F}_2$ sea el campo con $2$ elementos. ¿Podemos escribir el siguiente cociente del anillo $\mathbb{F}_2[x,y]$ ¿Más sencillo? $$\frac{\mathbb{F}_2[x,y]}{\langle x^{2^a}-1,y^{2^b}-1\rangle}$$ En realidad, quiero encontrar un anillo isomorfo al anterior que trabajando con sus elementos pueda ser más sencillo.
Gracias por su ayuda.
Tenga en cuenta que en la característica $2$ , $(x-1)^{2^{a}}=x^{2^{a}}-1$ . Desde $\mathbb{F}_2[X,Y]=\mathbb{F}_2[X-1,Y-1]$ tenemos que el anillo en cuestión es isomorfo a $\mathbb{F}_2[X,Y]/(X^{2^{a}},Y^{2^{b}})$ que es un poco más fácil de trabajar. Se trata de un anillo local con ideal máximo único $(X,Y)$ porque las unidades son exactamente los polinomios con un término constante $1$ . De hecho $(X,Y)$ es el único ideal primo no nulo, porque es nilpotente.
Muchas gracias por su útil respuesta. ¿Podría explicar estas partes un poco más? "las unidades son exactamente los polinomios con un término constante 1". ¿qué podemos decir de sus divisores cero?
Tenemos que $(1+P)^{m}=1$ para cualquier $P\in (X,Y)$ donde $m=\max\{2^{a},2^{b}\}$ . Z $(X,Y)$ .
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