límite al infinito$f(x)=x+ax \sin(x)$

Question

Deje que$f:\Bbb R\rightarrow \Bbb R$ esté definido por$f(x)= x+ ax\sin x$.

Me gustaría mostrar que si$|a| < 1$, entonces$\lim\limits_{x\rightarrow\pm \infty}f(x)=\pm \infty$.

Gracias por tu tiempo.

Answer 1

Empezamos por mirar el caso al $x$ es (grande) positivo. La idea es que si $|a|\lt 1$, entonces a partir de la $|\sin x|\lt 1$, el plazo $ax\sin x$, incluso si pasa a ser negativo, no se puede cancelar un vistazo a la gran positividad de la parte delantera plazo $x$. Vamos a proceder de manera más formal.

Tenga en cuenta que $|\sin x|\le 1$ todos los $x$, lo $x|a\sin x| \le x|a|$, y por lo tanto $x+ax\sin x\ge x-|a|x$. Así que nuestra función es $\ge (1-|a|)x$ al $x$ es positivo. Desde $|a|\lt 1$, el número de $1-|a|$ es una constante positiva. Pero $(1-|a|)x$ puede hacerse arbitrariamente grande, tomando $x$ lo suficientemente grande.

Igualmente, os $x$ ser negativo. A continuación,$x+ax\sin x=x(1+a\sin x)$. Pero $1+a\sin x\ge 1-|a|$, e $(1-|a|)x$ puede hacerse arbitrariamente grande negativo tomando $x$ negativo y de lo suficientemente grande como valor absoluto.

Answer 2

SUGERENCIA: reescriba la función como$f(x)=(1+a\sin x)x$. Ahora, ¿qué es$\inf_{x\in\Bbb R}(1+a\sin x)$? ¿Qué le dice esto sobre el valor más pequeño posible de$|f(x)|$ en términos de$x$?