¿Atrapado en la integral compleja, aproximada?

Question

He estado atrapado en un determinado integral que me encontré. No necesito una solución exacta, dudo que siquiera existe.

$$f(x)=\frac{e^{-i (r+R-k) x} \left(i-2 e^{i (r+R) x} r x-R x+e^{2 i r x} (R x-i)\right)}{ x^3}$$

Estoy pendiente de buscar$$\int_{-\infty}^\infty{f^n(x) dx}$$ for very large integer n and $$0 < r < R$$

Alguna sugerencia sobre cómo hacerlo? Gracias

EDIT: ok, he hecho algunos avances:

El siguiente de la serie de Laurent da f(x): $$f(x)=\sum _{m=0}^{\infty } a_mx^m$$ con $$a_m=\frac{(i (r-R))^{2+m} R-R (-i (r+R))^{2+m}}{r (2+m)!}-\frac{i (i (r-R))^{3+m}-i (-i (r+R))^{3+m}}{r (3+m)!};$$

que está relacionado con el contorno (un círculo en cualquier no-cero de la distancia de $x = 0$) integral a través de $$\oint_C f(x) = 2 \pi i a_{-1} =0$$ cuando sólo hay un punto singular.

Pero todo esto era para $n=1$, y no sé cómo $\oint_C f(x)$ se refiere a $\int_{-\infty}^\infty{f(x) dx}$, mucho menos cuando se $n\neq1$.

En $f^n(x)$, yo no encuentro una expresión explícita para los correspondientes coeficientes, pero hizo ver que todos los coeficientes son $0$$m < 0$. No sé lo que eso implica para $\int_{-\infty}^\infty{f^n(x) dx}$, por favor elaborados.

Answer 1

Deje $k=0$. Entonces la transformada de Fourier de $f$ es $$ g(y)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-i x y} f(y)\,dy= $$ $$ \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi }{2}} \left((r-R-t)^2 (-\text{sgn}(r-R-t))+(r+r+t)^2 \text{sgn}(-r-R-t)-\right. $$ $$ 2 R (r+r+t) \text{sgn}(-r-R-t)+2 R (-r+R+t) \text{sgn}(r-R-t)+4 r t \text{sgn}(t)\Big). $$ Es no negativo en $\mathbb R$$\mathrm{supp}\, g =[-R-r,0]\,$. Por ejemplo, $r=1$, $R=2$ da

Si $a=\int_{-\infty}^\infty g(y)\,dy\ $ $p(y)=g(y)/a\,$ es una función de densidad de probabilidad de alguna variable aleatoria continua $\xi$. Convolución de $g$'s corresponde a $f^n$. Por el teorema del límite central para un gran $n$ sus gráficos serán una curva en forma de campana (con apoyo en $[-n(R+r),0]$). Para $g*g*g$ a partir del ejemplo anterior:

Multiplicando el $f$ $e^{ i k x}$ significa un cambio de $g$$k$. También forma parte integral de la $f^n$ $\mathbb R$ es igual a la transformada de Fourier en el origen. Así que para fijo $r$ $R$ el resultado como una función de la $k$ es positiva y la curva en forma de campana en $[0,n(r+R)]$ y cero en caso contrario. Si denotar $m$ $d$ expectativa y la dispersión de $\xi$, tiene que ser una especie de $$\frac{a^n e^{-\frac{n (k+m)^2}{2 d}}}{\sqrt{2 \pi d n}}.$$ But would it give the exact asymptotic is not clear since the central limit theorem is directly applicable for $|k(n)+m|\le la c/\sqrt n$, where $c$ es una constante.