10 puntos dentro de un cuadrado - distancia mínima entre cualquiera de ellos

Question

Se da un cuadrado del lado 1, y 10 puntos están dentro del cuadrado.

Si dividimos el cuadrado en 9 cuadrados más pequeños, y aplicamos el principio de Dirichlet, podemos probar que hay 2 de estos 10 puntos cuya distancia es como máximo $ \sqrt2 /3$ .

¿Puede mejorarse esta afirmación, en el sentido de que $ \sqrt2 /3$ puede ser reemplazado por un valor menor?

(Esta pregunta me vino a la mente mientras leía otras preguntas similares aquí. No tengo ni idea de cuál sería un buen enfoque).

Answer 1

Poniendo $10$ puntos en un cuadrado de tamaño $1$ de tal manera que la distancia mínima $d_{ \text {min}}$ entre dos puntos se maximiza, es exactamente lo mismo que encontrar un arreglo de $10$ discos de radio no superpuestos $r=d_{ \text {min}}/2$ con el centro en el cuadrado de la unidad con el máximo radio posible (mira la segunda imagen de abajo). Note que estos discos están saliendo del cuadrado de la unidad pero forman el empaque más denso de $10$ esferas del cuadrado de tamaño $1+2r$ . Así que el problema es equivalente a que el disco se empaquete en un cuadrado. De acuerdo con wikipedia (o directamente el exhaustivo referencia principal del artículo de Wikipedia), el embalaje más conocido de $10$ esferas en un cuadrado nos da una distancia mínima $$d_{ \text {min}}= 0,421...$$ Esto es significativamente mejor que el límite original $ \sqrt {2}/3=0.47...$ encontrado por la red y el principio del casillero.

Antes de encontrar el artículo de Wikipedia que jugué con geogebra y el mejor embalaje que encontré es el de abajo, uno puede calcular el radio y encontrar $d_{ \text {min}}=( \sqrt {2 \left (1+2 \sqrt {2} \right )}-2)/(2 \left (2 \sqrt {2}-1 \right ))=0.419...$ que no es tan bueno como el mencionado anteriormente (quieres maximizar $d_{ \text {min}}$ ).