Esta integral se parece mucho a una integral elíptica, pero con cubos en lugar de cuadrados:
$$I(a,b)=\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{(x^3+a^3)(x^3+b^3)}}$$
Consideremos $a,b>0$ por ahora.
$$I(a,a)=\int_0^\infty \frac{dx}{x^3+a^3}=\frac{2 \pi}{3 \sqrt{3} a^2}$$
He obtenido la serie general de la solución de la siguiente manera. Elija $a,b$ tal que $a \geq b$, entonces:
$$I(a,b)=\frac{1}{a^2} \int_0^\infty \frac{dt}{\sqrt{(t^3+1)(t^3+b^3/a^3)}}=\frac{1}{a^2} I \left(1, \frac{b}{a} \right)$$
$$\frac{b^3}{a^3}=p, \qquad I \left(1, \frac{b}{a} \right)=I_1(p)$$
$$I_1(p)=\int_0^\infty\frac{dt}{\sqrt{(t^3+1)(t^3+p)}}=2 \frac{d}{dp} J(p)$$
$$J(p)=\int_0^\infty\sqrt{\frac{t^3+p}{t^3+1}}dt=\int_0^\infty\sqrt{1+\frac{p-1}{t^3+1}}dt=$$
$$|p-1| \leq 1$$
$$=\sum_{k=0}^\infty \left( \begin{array}( 1/2 \\ ~k \end{array} \right) (p-1)^k \int_0^\infty \frac{dt}{(t^3+1)^k}$$
Ahora esta es la parte más problemática. La primera integral de esta serie diverge. Sin embargo, es una constante en $p$, así que si podemos diferenciar, formalmente desaparece:
$$I_1(p)=2 \sum_{k=1}^\infty \left( \begin{array}( 1/2 \\ ~k \end{array} \right) k (p-1)^{k-1} \int_0^\infty \frac{dt}{(t^3+1)^k}$$
Ahora, cada integrante de esta serie converge. El integtals puede ser calculada usando la función Beta, si sustituimos: $$t^3=\frac{1}{u}-1$$
Finalmente, podemos reescribir:
$$I_1(p)=\frac{\Gamma (1/3)}{3 \sqrt{\pi}} \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{k!^2} \Gamma \left(k- \frac{1}{2}\right) \Gamma \left(k- \frac{1}{3}\right) (1-p)^{k-1}$$
O, usando el símbolo de Pochhammer:
$$I_1(p)=\frac{2 \pi}{3 \sqrt{3}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(k+1)^2}{(k+1)!^2} \left(\frac{1}{2}\right)_k \left(\frac{2}{3}\right)_k (1-p)^k$$
Mis preguntas son:
Es el método que he utilizado es válido (ver la problemática de la parte')? Cómo conseguir esta serie en una función Hipergeométrica forma?
Es allí cualquier 'aritmética-media geométrica", como los de transformación (Landen de la transformación), para esta integral? Cómo ir sobre la búsqueda?
Si el método que he utilizado es correcto, puede ser utilizado por cualquier integrante de la forma de ($m \geq 2$):
$$I_m(a,b)=\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{(x^m+a^m)(x^m+b^m)}}$$
