¿Cuál es el ángulo del vértice del cono de las matrices semidefinidas positivas?

Question

Dejemos que $\def\S{\mathbf S}\S^n$ sea el espacio lineal de las simétricas $n \times n$ matrices y $\S_+^n$ sea el subconjunto de matrices semidefinidas positivas. Es bien sabido que $\S_+^n$ es un cono convexo en $\S^n$ . Para conseguir una mejor comprensión geométrica de este objeto, me pregunté qué apex ángulo de este cono podría ser.

Utilizamos el producto interior $\DeclareMathOperator{\tr}{tr}\def\<{\langle}\def\>{\rangle}\<A,B\>=\tr(AB)$ , donde $\tr(A)$ es el rastro de $A$ .

El ángulo del vértice $\theta$ de $\S_+^n$ es el mayor valor de $\arccos\<A_1,A_2\>$ para $A_i\in\S_+^n$ con $\<A_i,A_i\>=1$ .

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Mi mejor resultado hasta ahora

Dejemos que $\def\E{\mathbf E}\E$ sea algún espacio euclidiano y $S\subset \E$ un subespacio propio. Sea $A_1\in\S_+^n$ sea la proyección ortogonal sobre $S$ y $A_2\in\S_+^n$ la proyección ortogonal sobre el complemento ortogonal $S^\bot$ . Entonces $\<A_i,A_i\>=1$ pero $A_1A_2=0$ Por lo tanto $\<A_1,A_2\>=\tr(A_1A_2)=0$ .

Así que tenemos que $\theta\ge 90^\circ$ . ¿Podemos hacerlo mejor? Especialmente, ¿podemos tener $\tr(A_1A_2)<0$ ?

Answer 1

Es imposible tener $\operatorname{tr}(A_1A_2) < 0$ si cada $A_i$ es semidefinido positivo.

Una prueba que me gusta es la siguiente: observe que (mediante el teorema espectral, por ejemplo) podemos descomponer $A_2$ en $$A_2 = \sum_{k=1}^n x_kx_k^T, \qquad x_k \in \Bbb R^n$$ Con eso, encontramos que $$\operatorname{tr}(A_1A_2) = \operatorname{tr}\left(A_1\sum_{k=1}^n x_kx_k^T\right) = \sum_{k=1}^n \operatorname{tr}(A_1x_kx_k^T) = \sum_{k=1}^n \operatorname{tr}(x_k^TA_1x_k) = \\ \sum_{k=1}^n x_k^TA_1x_k \geq 0$$