Así que tengo una pregunta que me pregunta qué condiciones deben ocurrir en los coeficientes de un polinomio cuadrático, para que no haya raíces reales. Miré a mi alrededor y sé que si el discriminante de la fórmula cuadrática es negativo, entonces no hay raíces reales. Pero, quiero saber cómo esto puede generalizarse a casos como polinomios de grado 4.
Respuestas
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Emilio Novati
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Un método general para determinar si un polinomio en una variable tiene raíces reales en un intervalo de $(a,b] \subset \mathbb{R}$ es el del teorema de Sturm. Pero incluso para un polinomio de bajo grado de este teorema requiere la construcción de una cadena de polinomios que es muy tedioso encontrar. Una prueba "como" el discriminante se puede hacer para ecuaciones de grado tres y cuatro, de la que conocemos la solución de las fórmulas, pero, también en este caso el trabajo a realizar no es trivial.
E. G.:
El $3$-grado de la ecuación: $$ x^3+Bx^2+Cx+D=0 $$
tiene tres reales con soluciones distintas en si, dado $$ P=\dfrac{3C-B^2}{9} \qquad Q=\dfrac{2B^3-9BC+27D}{54} $$
el "discriminante" $$ \Delta=P^3+Q^2 $$ es $\Delta<0$.
Un cuatro-grado de la ecuación $$ y^4+^3+Cy^2+Dy+E=0 $$ puede ser transformend ( con $ y=x-B/4$) en: $$ x^4+px^2+qx+r=0 $$ y tiene cuatro diferentes soluciones reales si su "resolvent" ecuación $$ z^3+\dfrac{p}{2}z^2+\left(\dfrac{p^2}{16}-\dfrac{r}{4}\right)z-\dfrac{p^2}{64}=0 $$ tiene tres distintas real positivo soluciones.
También, podemos encontrar que, si este resolvent tiene una raíz real y dos negativos raíces reales, entonces el $4-$grado ecuación tiene dos par de complejo conjugado raíces, por lo que: no hay raíces reales.
Domingo
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Esta no es una expresión, como el discriminante, pero es una prueba de que posiblemente se compruebe que un polinomio no tiene raíces reales. Sin embargo, si no se puede, no se puede concluir nada.
Usted puede demostrar que para un polinomio $p(x) = x^n+a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 $ con los principales coeficiente de 1, todas las raíces de $x_i$ satisfacer $-(n+1) \max_i |a_i| \leq x_i$. Usted puede ver esta pregunta para obtener más detalles. Por lo tanto, $p(x-(n+1) \max |a_i|)$ debe tener todas sus raíces reales positivas. Si todos los coeficientes son positivos o todos los coeficientes son negativos, por Descartes' Regla de los Signos, no hay positivo raíces y por lo tanto no hay raíces reales.
Esto deja la posibilidad donde hay cambios de signo en los coeficientes de la nueva polinomio, pero todavía no hay positivo raíces.
