Tengo una ODA.
$$
yy^{\prime\prime}-2(y^{\prime})^2+2y^{\prime}=0.
$$
Mi profesor tiene la respuesta
$$
y=C,
$$
donde $C$ es una constante arbitraria, o
$$
y=\frac{1}{\sqrt{C_1}}\tan(\sqrt{C_1}x+C_2),
$$
donde $C_1,C_2$ son constantes arbitrarias, $C_1>0$.
Pero creo que la solución puede diferir debido a que el signo de $C_1$. Deje $y^{\prime}=v$, luego $$ y^{\prime\prime}=\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dx}=v\frac{dv}{dy}. $$ Así que esto se convierte en la educación a distancia $$ vy\frac{dv}{dy}-2v^2+2v=0. $$ Caso 1: $v=0$, luego $y=C$, $C$ es una constante arbitraria;
Caso 2: si $v\ne0$, luego variables independientes, dando $$ \frac{1}{v-1}dv=\frac{2}{y}dy. $$ Integrar ambos lados, tenemos $$ \int\frac{1}{v-1}\mathrm{d}v=\int\frac{2}{y}\mathrm{d}y, $$ es decir, $$ \ln|v-1|=\ln y^2+\ln|K|, $$ donde $K$ es un no-cero constante. Así tenemos $$ e^{\ln|v-1|}=e^{\ln|K|}e^{\ln{y^2}}, $$ y, finalmente, $$ |v-1|=|K|y^2. $$ Por lo tanto, $$ v-1=\pm|K|y^2. $$ Deje $C_1=\pm|K|$, luego $$ v=C_1y^2+1, $$ donde $C_1$ es un no-cero constante. Variables independientes de nuevo, obtenemos $$ \int\frac{1}{C_1y^2+1}\mathrm{d}y=\int \mathrm{d}x. $$ Aquí está el problema: si $C_1<0$, no podemos utilizar la integral $$ \int\frac{1}{x^2+a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C, $$ donde $C$ es una constante arbitraria, por el contrario, necesitamos usar $$ \int\frac{1}{ax^2+b}\mathrm{d}x=\frac{1}{2\sqrt{-ab}}\ln\left|\frac{\sqrt{a}x-\sqrt{-b}}{\sqrt{a}x+\sqrt{-b}}\right|+C,\ un>0\ \text{y}\ b<0 $$ para resolver la educación a distancia. Me equivoco o fue mi profesor de malo? Siempre me confundí con estas constantes en primer orden del ODE. Gracias.
