El diferencial de$\psi: GL_2(\mathbb{C})\rightarrow M_2(\mathbb{C})$ que envía$g\mapsto gAg^{-1}$

Question

Supongamos que$\psi: GL_2(\mathbb{C})\rightarrow M_2(\mathbb{C})$ se define al enviar $$ g \ mapsto gAg ^ {- 1}. $$

Entonces, ¿por qué es que$d\psi:T_eGL_2(\mathbb{C})=M_2(\mathbb{C})\rightarrow M_2(\mathbb{C})$ se define como $$ C \ mapsto [C, A]? $$

Está relacionado con este enlace , pero no estoy seguro de si la misma estrategia que funcionará en este enlace funcionará aquí.

Answer 1

La misma estrategia funciona (con$2$ reemplazado por$n$). La gracia salvadora aquí es que$\text{GL}_n(\mathbb{C})$ naturalmente se incrusta en$\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ y su espacio tangente en cualquier punto puede identificarse canónicamente con$\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Así que escriba$g = 1 + \epsilon C$ y calcule el término$\epsilon$ de$gAg^{-1}$ ...