Divertido puzzle de serie geométrica

Question

Hace poco me acordé de un rompecabezas que resolví en la universidad y pensé en volver a intentarlo. Sin embargo, al estar alejado de las matemáticas universitarias, me está costando más recordar cómo llegué a la solución.

El problema es el siguiente: Imagina que estás en medio de un campo abierto. Caminas hacia delante 16 pies, giras a la derecha y caminas 8 pies, giras a la derecha y caminas 4 pies, y así sucesivamente. Y así indefinidamente. Cuando finalmente alcances un número infinito de giros, ¿a qué distancia estarás de tu punto de partida original (en línea recta)? Generalizado, éste es el aspecto del problema:

Conseguí encontrar la solución original que se me ocurrió para el problema. Sin embargo, no mostré mi trabajo, por lo que el proceso se ha perdido. Después de intentar resolver esto sin suerte, pensé que iba a lanzar esto a la comunidad para resolver como un rompecabezas divertido.

Como referencia, esto es lo que creo que es la solución:

$$\frac{a}{\sqrt{r^2 + 1}}$$

Answer 1

Podemos describir este paseo en el plano complejo. Empezando en $z=0$ añadimos en secuencia $$a,-i r a, -r^2 a, ir^3 a,\cdots, (-i r)^k a,\cdots$$ Se trata simplemente de la serie geométrica $$\sum_{k=0}^\infty (-i r)^k a = \frac a{1+ir}$$ que está a una distancia de $$\left|\frac a{1+ir}\right|=\frac a{\sqrt{1+r^2}}$$ desde el origen.

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Además :

Una generalización inmediata es que si giramos un ángulo de $\phi$ a la derecha en lugar de $\dfrac\pi2$ tenemos la serie $$\sum_{k=0}^\infty a\ (r e^{-i\phi})^k = \frac a{1-r e^{-i\phi}}$$ y, por tanto, un desplazamiento de $$\frac a{\sqrt{1-2r\cos\phi+r^2}}$$ desde el origen.

Answer 2

El desplazamiento horizontal será $$L_x=a-r^2a+r^4a-\ldots\;=\frac{a}{1+r^2},$$ y la vertical $$\;L_y=ra-r^3a+r^5a-\ldots=\frac{ra}{1+r^2}.$$ El resultado se deduce del teorema de Pitágoras: $$L=\sqrt{L_x^2+L_y^2}=\frac{a}{\sqrt{1+r^2}}$$

Answer 3

Es inmediatamente obvio que una transformación consistente en una rotación en el sentido de las agujas del reloj de $\pi/2$ radianes y una contracción por un factor de $r$ sobre el punto final límite del camino mapeará el camino negro a un subconjunto propio de sí mismo; por lo tanto, si enumeramos los vértices empezando por el vértice más exterior, el segmento de línea roja es un subconjunto de una única línea que pasa por todos los vértices Impares, y el punto final es la intersección de esta línea con la línea (perpendicular) que pasa por todos los vértices pares. Por lo tanto, $d$ satisface $d^2 + (rd)^2 = a^2$ o $d = a/\sqrt{1+r^2}.$

Answer 4

Un argumento de simetría que no requiere ninguna suma geométrica/serie infinita.

Consideremos sólo un "giro": justo después de hacer un movimiento "ascendente" de $r^3 a$ .

A continuación dará un paso de $r^4 a$ a la derecha, paralela a la primera derecha, como parte del segundo "giro".

Ahora está a distancia $D_1 = \sqrt{(a-r^2a)^2 + (ra - r^3a)^2} = a(1-r^2)\sqrt{1+r^2}$ desde el punto original.

Ahora si para el paso inicial $a$ la distancia total recorrida tras infinitas "vueltas" es $f(a)$ entonces debemos tener que

$$f(a) = D_1 + f(r^4a) = f(a) + D_1 + r^4f(a) \implies f(a) = \frac{D_1}{1-r^4}$$

Esto se debe a que si $D$ es la distancia para $a$ entonces $cD$ es la distancia para $ca$ y todos los puntos de "inflexión" son colineales.

Por lo tanto, la distancia recorrida es

$$\frac{a(1-r^2)\sqrt{1+r^2}}{1-r^4} = \frac{a}{\sqrt{1+r^2}} $$

Answer 5

Yo calcularía las distancias horizontal y vertical por separado y luego utilizaría el teorema de Pitágoras para calcular la distancia total desde el punto de partida. La distancia horizontal es $a-r^2a+r^4a-...=\frac{a}{1+r^2}$ y la distancia vertical es $ra-r^3a+r^5a-...=\frac{ar}{1+r^2} $ . La distancia total es $\sqrt{\frac{a^2}{(1+r^2)^2}+\frac{(ar)^2}{(1+r^2)^2}}=\frac{a}{\sqrt{1+r^2}}$ .