¿Qué significa$+,-$ en notación de límite, como$\lim\limits_{t \to 0^+}$ y$\lim\limits_{t \to 0^-}$?

Question

Estoy trabajando en Laplace Transforms y he llegado a una sección en la que hablan de cero a la potencia más o menos y que son diferentes. Aunque no puedo recordar lo que esto significa.

Generalmente se usa en los límites.

$\lim\limits_{t\to 0^-}$ o$\lim\limits_{t\to 0^+}$

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Dicen que nos vamos a

$$H(x)=\begin{cases} 0, & x < 0, \\ 1, & x > 0, \end{cases}$$

y deje $H(0)$ no definido.

Decir que me gustaría acercarme a $0$ en esta función. Sin embargo, surge un problema! Mirando el gráfico de la función, es claro que si se enfoque desde el lado derecho, el límite es de $1$, mientras que si uno se acerca desde la izquierda, el límite es de $0$, por lo que los dos lados no existe límite (ambos lados deben estar acercándose el mismo número para este límite existe)! Esto también puede ser visto fácilmente mediante la conexión de los números:

$$H(1)=1$$ $$H(.1)=1$$ $$H(.000000000001)=1$$ etc. Pero, haciendo lo mismo desde el lado izquierdo, nos encontramos con

$$H(-1)=0$$ $$H(-.1)=0$$ $$H-(.000000000001)=0$$

Por lo tanto, se debe definir un tipo diferente de límite para funciones con discontinuidades similares para que podamos enfoque desde cualquier lado. Este límite es el de "una cara límite" y se utiliza generalmente cuando una de dos caras límite no existe, como en el caso anterior. $\lim_{x \to x_0^+}f(x)$ representa el diestro límite de $f(x)$ $x_0$mientras $\lim_{x \to x_0^-}f(x)$ representa la mano izquierda límite. Así que podemos ver que $\lim_{x \to 0} H(x)$ no existe, pero

$$\lim_{x \to 0^+}H(x)=1$$ $$\lim_{x \to 0^-}H(x)=0$$

Answer 2

En este caso, el más y el menos se refieren a la dirección desde la cual se aproxima a cero. Asi que,

$\lim \limits_{t \to 0^{-}}$

significa que el límite como$t$ se aproxima a$0$ desde el lado negativo, o desde abajo, mientras

$\lim \limits_{t \to 0^{+}}$

significa que el límite cuando$t$ se acerca a$0$ desde el lado positivo, o desde arriba. Por lo tanto, solo está especificando en qué dirección se está moviendo a lo largo de la recta numérica.

Answer 3

Y un buen ejemplo visual podría ser algo así como

$$ \begin{align} \lim_{x\to x_0^-}f&=y_1\\ \lim_{x\to x_0^+}f&=y_2 \end {align} $$

Answer 4

$$\lim_{t \to 0^{+}}$ $ indica que el límite debe tomarse solo desde la dirección positiva; es un límite de un solo lado

Límite de la mano derecha:$\displaystyle\lim_{t \to 0+} f(x) = \displaystyle\lim_{t \to 0} f(x+t) $.

Límite de la mano izquierda:$\displaystyle\lim_{t \to 0-} f(x)= \displaystyle\lim_{t \to 0} f(x-t) $