Sumando y restando valores que no existen

Question

De arriba es una parte de cálculo que implican el coeficiente binomial. Entiendo los pasos. Lo que hemos hecho es que hemos suman y se restan los mismos términos (aquellos que se dibujan en un cuadro rojo), de modo que nada ha cambiado por este paso. Pero estos términos no aparecen en la definición de un coeficiente binomial.. por Lo que es lógico para añadir o restar un valor que no existe?! Espero que fueron claros en la presentación de lo que estaba claro para mí.

Answer 1

Supongo que se utilizan para la definición de los coeficientes binomiales como $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ Sin embargo, si se cancela fuera de la $(n-k)!$, se obtiene $$\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}$$ Y si se escribe en esta forma, usted puede ver que no hay ningún problema con el hecho de tener valores arbitrarios para $n$. Por ejemplo, usted tiene $$\binom{\pi}{3} = \frac{\pi(\pi-1)(\pi-2)}{6}$$ O en su caso, $$\binom{n-1}{n} = \frac{(n-1)(n-2)\cdots ((n-1)-n+1)}{n!}$$ Ahora observe que el último factor en el numerador es en realidad igual a cero; por lo tanto todo el coeficiente binomial se desvanece.

Otra forma de llegar al mismo resultado es un aviso de que es una fórmula de recursión, $$\binom{n}{k+1} = \frac{n-k}{k+1}\binom{n}{k}$$ que es fácilmente controlado por la inserción de la definición original. Asumiendo esta repetición de la fórmula de celebrar más, a continuación, obtener de inmediato $$\binom{n-1}{n} = \binom{n-1}{(n-1)+1} = \frac{(n-1)-(n-1)}{(n-1)+1}\binom{n-1}{n-1} = 0$$

OK, que se ocupa de la primera parte, pero ¿y el segundo? Incluso con esta definición, usted todavía obtener $(-1)!$ en el denominador. Hay al menos dos maneras de abordar este.

El primero es observar que $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, y suponemos que esto también se aplica también fuera del rango original. Entonces usted consigue $$\binom{n-1}{-1} = \binom{n-1}{(n-1)-(-1)} = 0$$

Una segunda forma es resolver la recursividad de la fórmula de arriba para $\binom{n}{k}$: $$\binom{n}{k} = \frac{k+1}{n-k}\binom{n}{k+1}$$ A continuación, obtenemos inmediatamente $$\binom{n-1}{-1} = \frac{-1+1}{n-1-(-1)}\binom{n-1}{-1+1} = 0$$

En cualquier caso, se entiende que los términos adicionales añadidos están bien definidos y tienen el valor de $0$.