¿Cómo mostrar que$\mathbb{R}$ y$[0, + \infty)$ no son homeomorfos?

Question

Muestre que$\mathbb{R}$ y$[0, + \infty)$ no son homeomorfos.

Mi primera idea fue tal vez usar un argumento de conexión, pero me di cuenta de que si eliminamos un elemento de cualquiera de los conjuntos, ambos se vuelven no conectados.

Algo me dice que la prueba debe ser elemental, pero no puedo verla por ahora.

Answer 1

¡Buena idea!

Saque$0$ de$[0,\infty)$ y$f(0)$ de$\mathbb R$ donde$f$ denota el homeomorfismo (que asumimos que existe).

Esto da como resultado un espacio conectado$(0,\infty)$ y un espacio no conectado$\mathbb R-\{f(0)\}$, por lo que se encuentra una contradicción.

Answer 2

$\textbf{Hint :}$

Tome$0$ de$[0,\infty)$ y vea los componentes conectados desde ambos espacios :)

Answer 3

Supongamos que existe un homomorfismo$f: [0,\infty) \to \mathbb R.$ Let$p = f(0).$ Entonces$g : (0,\infty)\to\mathbb R\setminus\{p\}$ definido por$g=f\mid_{(0,\infty)}$ también es un homemorphism.

Sin embargo,$(0,\infty)$ está conectado y$\mathbb R\setminus\{p\}$ no está conectado. Así que obtienes una contradicción.

Answer 4

Tenga en cuenta que un homeomorfismo tendría que ser un isomorfismo de orden o antiisomorfismo (es decir, el orden se invierte). Esto se debe a que una función inyectiva continua es necesariamente la conservación del orden.

Pero estas órdenes no son ni isomorfas ni antiisomorfas (mire los puntos finales).