Integrar una función de alto nivel

Question

¿Cómo se integra esta función?

$$\int\frac{x^3}{(x+5)^2}dx$$ Yo mismo lo he intentado por sustitución pero no consigo eliminar el $x$ s.

Answer 1

Sugerencia: Reescríbalo como $$\int \frac{(u-5)^3}{u^2}\text{d}u$$ haciendo la sustitución $u = x+5$ y reordenando eso hasta que puedas obtener $x$ (es decir, si $u = x+5$ entonces $x = ?$ )

Answer 2

División larga: $$ \begin{array}{cccccc} & & x & - & 10 \\ \\ x^2+10x+25 & ) & x^3 \\ & & x^3 & + & 10x^2 & + & 25x \\ \\ & & & & -10x^2 & - & 25x \\ & & & & -10x^2 & - & 100x \\ \\ & & & & & & 75 x \end{array} $$

Así que tenemos $$ \frac{x^3}{x^2+10x+25} = x - 10 + \frac{75x}{(x+5)^2} = x - 10 + \frac{A}{x-5} + \frac{B}{(x+5)^2}. $$