Un límite de la norma de Hölder con el que necesito ayuda

Question

Definir la seminorma en el espacio $S=[0,1]\times[0,T]$ $$[u]_{\alpha} = \sup\frac{|u(x, t) - u(y,s)|}{(|x-y|^2 + |t-s|)^{\frac{\alpha}{2}}}.$$ Definir las normas en el mismo espacio $$\lVert u \rVert_{C^{0, \alpha}} = \lVert u \rVert_{C^0} + [u]_{\alpha}$$ y $$\lVert u \rVert_{C^{2, \alpha}} = \lVert u \rVert_{C^0} +\lVert u_x \rVert_{C^0}+\lVert u_{xx} \rVert_{C^0}+\lVert u_t \rVert_{C^0}+ [u_{xx}]_{\alpha} + [u_t]_{\alpha}.$$

Quiero demostrar que $[u_x]_\alpha \leq C\lVert u \rVert_{C^{2, \alpha}}$ donde $C$ no depende de $u_{xt}$ . ¿Alguien tiene alguna pista de cómo hacerlo? He intentado usar el MVT pero me da un $u_{xt}$ que no puedo atar por encima. ¿O hay algo que pueda hacer con $u_{xt}$ ?

Alternativamente, ¿hay algo que pueda hacer (como en el caso anterior) con $$\sup\frac{|u_x(x, t) - u_x(x,s)|}{|t-s|^{\frac{\alpha}{2}}}?$$

Parece que no puedo evitar obtener un derivado mixto $u_{xt}$ aquí.

Gracias por cualquier ayuda.

AÑADIDO: $u$ resuelve la ecuación $$u_t = a_1u_{xx} + b_1u_x + c_1u + (f_1 + a_2v_{xx} + b_2v_x + c_2v)$$ donde $v$ resuelve $$v_t = a_3v_{xx} + b_3v_x + c_3v + f_3$$ y el $a_i$ etc., son funciones de $(x,t)$ en $C^{0, \alpha}$ .

Answer 1

La función de $C^{2,\alpha}(S)$ puede extenderse a una función de la misma clase en $\mathbb R^2$ por lo que WLOG podemos suponer $u\in C^{2,\alpha}(\mathbb R^2)$ . Denote $\tau=s-t$ . Basta con considerar el caso $0<\tau\le1$ .

Cambiemos la primera derivada $u_x(x,t)$ en su aproximación por diferencias finitas con paso $\tau^{1/2}$ : $$\tau^{-1/2}\Delta_x({\tau^{1/2}})u(x,t)= \frac{u(x+\tau^{1/2},t)-u(x,t)}{\tau^{1/2}}.$$ Entonces, en lugar de la diferencia requerida $\Delta_t({\tau})u_x(x,t)$ tendremos $\tau^{-1/2}\Delta_t({\tau})\Delta_x({\tau^{1/2}})u(x,t)$ . Como las diferencias conmutan, para la última expresión obtenemos $$|\tau^{-1/2}\Delta_t({\tau})\Delta_x({\tau^{1/2}})u(x,t)|= \tau^{-1/2}\left|\int_t^{t+\tau} \Delta_x({\tau^{1/2}}) u_t(x,\lambda)\,d\lambda\right|\le$$ $$\le \tau^{-1/2} C\int_t^{t+\tau} \tau^{\alpha/2}\,d\lambda= C\tau^{(1+\alpha)/2}.$$ La diferencia entre lo que se necesita y lo que se introdujo puede dividirse en dos sumandos similares, $$\Delta_t({\tau})u_x(x,t)-\tau^{-1/2}\Delta_t({\tau})\Delta_x({\tau^{1/2}})u(x,t)=$$ $$\Delta_t({\tau})(u_x(x,t)-\tau^{-1/2}\Delta_x({\tau^{1/2}})u(x,t))=$$ $$\tau^{-1/2}(\tau^{1/2}u_x(x,t+\tau)-\Delta_x({\tau^{1/2}})u(x,t+\tau))- \tau^{-1/2}(\tau^{1/2}u_x(x,t)-\Delta_x({\tau^{1/2}})u(x,t)).$$ Ambos pueden estimarse de la misma manera: $$|\tau^{-1/2}(\tau^{1/2}u_x(x,t)-\Delta_x({\tau^{1/2}})u(x,t))|= \tau^{-1/2}\left|\int_x^{x+\tau^{1/2}}(u_x(x,t)-u_x(y,t))\,dy\right|\le$$ $$C\tau^{-1/2}\int_x^{x+\tau^{1/2}}(y-x)\,dy=C_1\tau^{1/2}.$$ Resumiendo obtenemos $$|\Delta_t({\tau})u_x(x,t)|\le C\tau^{1/2}.$$