Fracciones parciales y funciones trigonométricas

Question

Hace mucho tiempo escribí un problema tonto. Comienza con

Intento de escribir $$\frac{1}{\sin(x)\cos(x)}$$ utilizando fracciones parciales.

y luego pasa a demostrar una identidad trigonométrica.

Me preguntaba si realmente hay una manera de hacer esto? ¿Hay una manera de escribir una "función racional trigonométrica" como una fracción parcial? Supongo que la forma (en general) es simplemente la siguiente, como si $\sin(x)=:y$ y $\cos(x)=:z$ ¿y seguir tu nariz?

$$\frac{1}{\sin(x)\cos(x)}=\frac{A\sin(x)+B\cos(x)+C}{\sin(x)}+\frac{D\sin(x)+E\cos(x)+F}{\cos(x)}$$

Answer 1

Bien, probemos la sustitución del medio ángulo tangente: \begin {align} \tan\frac\theta 2 & = t \\ [8pt] \theta & = 2 \arctan t \\ [8pt] \sin\theta & = \sin (2 \arctan t) = 2 \sin ( \arctan t) \cos ( \arctan t) \\ & = 2 \frac {t}{ \sqrt {t^2+1}} \cdot \frac {1}{ \sqrt {t^2+1}} \\ [6pt] & = \frac {2t}{t^2+1} \\ [8pt] \cos\theta & = \cos (2 \arctan t) = \cos ^2 \arctan t - \sin ^2 \arctan t \\ & = \left ( \frac {1}{ \sqrt {t^2+1}} \right )^2 - \left ( \frac {t}{ \sqrt {t^2+1}} \right )^2 \\ [6pt] & = \frac {1-t^2}{1+t^2} \end {align} Entonces: $$ \frac 1 {\sin\theta\cos\theta} = \frac{(t^2+1)^2}{2t(1-t^2)} = \frac{t^4+2t^2+1}{2t(1-t)(1+t)} $$ La división larga de polinomios nos da un polinomio de primer grado en $t$ más $\dfrac{\cdots}{2t(1-t)(1+t)}$ donde el numerador es como máximo un polinomio de segundo grado, y la fracción se convierte en $\dfrac A t+ \dfrac B{1-t} + \dfrac C{1+t}$ .

Answer 2

Imaginemos un triángulo rectángulo con ángulo $x$ , hipotenusa $h$ , opuesto (de $x$ ) pierna $o$ y la pierna adyacente $a$ . Entonces $\sin(x) = \frac{o}{h}$ y $\cos{x} = \frac{a}{h}$ Por lo tanto $$\frac{1}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\frac{o}{h}\cdot \frac{a}{h}} \\ = \frac{h^2}{oa}$$ También sabemos que en los triángulos rectos $o^2+a^2 = h^2$ Por lo tanto $$ \frac{h^2}{oa} = \frac{o^2+a^2}{oa} \\ = \frac{o^2}{oa}+\frac{a^2}{oa} \\ = \frac{o}{a}+\frac{a}{o} \\ = \tan(x)+\cot(x)$$

Answer 3

Se puede demostrar fácilmente que el conjunto $\{1,\cos x,\cos2x,\ldots,\cos nx,\sin x,\ldots,\sin nx\}$ es linealmente indepediente sobre $\mathbb R$ .

Eso es lo que necesitas para hacer la identificación $T(x)\equiv 0 \Leftrightarrow a_k(T)=0$ y, por tanto, utilizar este método.

Answer 4

Una pista: Utilice el hecho de que ${\bf1}=\sin^2x+\cos^2x$ .