¿Deberían los teoremas de isomorfismo ser vistos como una "interfaz" entre el álgebra y la teoría de categorías?

Question

Mi primer instinto cuando pensaba acerca de álgebra en la categoría de teoría, era para tratar de "generalización de los teoremas de isomorfismo en la categoría de teoría".

Así que traté de demostrar la generalización de "la imagen de un grupo de homomorphism es isomorfo al cociente grupo generado por su núcleo".

Pero luego me enteré de que en la categoría de subobjetos en realidad son definidos en términos de monomorphisms, que para la categoría en la Grp es esencialmente implícitamente el uso que el teorema de isomorfismo.

• Por lo tanto, es correcto que yo no debería estar tratando de demostrar los teoremas de isomorfismo en la categoría de teoría?

• Es correcto que en lugar de ello, los teoremas de isomorfismo debe ser visto como justificando hablando de estructuras algebraicas (entre otras structuers) en términos de la estructura de la preservación de morfismos? en ese sentido, son como la "interfaz" entre la categoría teórica de álgebra (por ejemplo, hablando de grupos en términos de grupo homomorphisms) y "la teoría de la" álgebra (hablando acerca de los grupos en términos de los elementos del grupo, y cosets y así sucesivamente).

Answer 1

Antes de abordar sus preguntas, voy a escribir aquí mi versión favorita del primer teorema de isomorfismo. Como otros han comentado, se necesitan nociones de cocientes, las imágenes y los granos antes incluso de intentar enunciar un resultado. Hay más de una manera de hacer esto (por ejemplo, categorías de aditivos). Aquí vamos a trabajar con categorías concretas. Recordar la noción de imágenes.

Definición [kernel]: Vamos a $f : X \to Y$ ser una función. El núcleo de $f$ es el conjunto $\{(a,b) \in X \times X \mid f(a)=f(b)\}$.

La noción de núcleo, tal como se define aquí, es simplemente el kernel par de $f$, es decir, la retirada de $X \xrightarrow{f} Y \xleftarrow{f} X$.

Definición [de hormigón cocientes y congruencias]: Vamos a $(C,U)$ ser una concreta categoría y $X$ un objeto de $C$. Un hormigón cociente de $X$ es un epimorphism $\pi : X \to Y$ tal que $U(\pi)$ es epi y para cada objeto $Z$ de $C$ y cada función de $f : U(Y) \to U(Z)$, los siguientes son equivalentes:

• Existe una morfismos $f' : Y \to Z$ tal que $U(f') = f$.
• Existe una morfismos $g : X \to Z$ tal que $U(g) = f \circ U(\pi)$.

El conjunto $\ker(U(\pi))$ se llama congruencia en $X$.

Si usted prefiere, usted puede definir de hormigón cocientes como clases de equivalencia en su lugar. Tenga en cuenta que esta noción de cociente coincide con topológico de cocientes, por ejemplo, mientras que la noción usual de los cocientes (que es, epimorphisms) no. En esencia, el hormigón, los cocientes permiten completar los diagramas en la categoría de base mirando el subyacente diagramas en $Set$. Una congruencia en un objeto $X$ es esencialmente una relación de equivalencia en $U(X)$ con un asociado de hormigón cociente de $X$. Observe, sin embargo, que congruencias necesidad de no surgir sólo de $U(\pi)$ para $\pi$ concreto cociente.

Teorema [el Primer Teorema de Isomorfismo]: Vamos a $(C,U)$ ser una concreta categoría, donde $C$ es completa y $U$ es continua. Deje $q : X \to Z$ ser una de morfismos en $C$ tal que $\ker(U(q))$ es una congruencia en $X$. A continuación, los morfismos $m : X/\ker(U(q)) \to Z$ (que $q = m \circ \pi_q$) es la imagen de $q$.

Prueba : en Primer lugar debemos comprobar que $m$ es un monomorphism. Deje $x,y \in U(X)$ e $[x],[y]$ sus clases de equivalencia respecto a $\ker(U(q))$. Si $U(m)([x])=U(m)([y])$, a continuación, $(U(\pi_q) \circ U(m))(x)=(U(\pi_q) \circ U(m))(y)$, por lo tanto $U(\pi_q \circ m)(x)=U(\pi_q \circ m)(y)$, lo que implica $U(q)(x)=U(q)(y)$. Por lo tanto, $(x,y) \in \ker(U(q))$ e $[x]=[y]$. $U(m)$ es mono, por lo tanto $m$ es así ($U$ es fiel).

Ahora vamos a $m' : Y \to Z$ ser un monomorphism y $h : X \to Y$ ser una de morfismos tal que $q= m' \circ h$. queremos demostrar la existencia de $f : X/\ker((U(q))) \to Y$ tal que $m = m' \circ f$. Si $(x,y) \in \ker(U(q))$, a continuación, $U(q)(x)=U(q)(y)$, por lo tanto $U(h)(x)=U(h)(y)$ (desde $U$ es continua y $m'$ es mono, $U(m')$ es mono). Por la definición de hormigón cocientes, existe una morfismos $f : X/\ker((U(q))) \to Y$ tal que $h = f \circ \pi_q$. Desde $m' \circ h = q = m \circ \pi_q$, tenemos $m' \circ f \circ \pi_q = m \circ \pi_q$. Desde $\pi_q$ es epi, tenemos $m' \circ f = m$.

Tenga en cuenta que, en particular, este isomorfismo teorema es válido en la categoría de espacios topológicos (con la obvia olvidadizo functor a $Set$)! ¿Cuál es el problema aquí? Se los dejo como ejercicio.

Ahora, abordar las preguntas:

Por lo tanto, es correcto que yo no debería estar tratando de demostrar los teoremas de isomorfismo en la categoría de teoría?

Eso no es correcto. Sin embargo, usted debe ser consciente del hecho de que, en general, las categorías no siempre se puede tener la estructura/propiedades que se necesitan para hablar acerca de ciertos conceptos. En ese caso, sin embargo, usted debe ser capaz de considerar a una clase en particular de las categorías en las que usted puede probar los resultados deseados.

Es correcto que en lugar de ello, los teoremas de isomorfismo son una especie de "interfaces", que justifican hablando de estructuras algebraicas (entre otras structuers) en términos de la estructura de la preservación de morfismos?

No estoy seguro si entiendo esta pregunta. El hecho de que homomorphisms entre estructuras algebraicas satisfacer los teoremas de isomorfismo es sin duda una buena razón para hablar de la estructura de la preservación de las funciones (en lugar de no-estructura de la preservación de las funciones) en ciertos escenarios. Sin embargo, en otras estructuras, donde el teorema podría no ser válida (espacios topológicos, por ejemplo), todavía es "mejor" para considerar la estructura de la preservación de las funciones que simplemente funciones generales.

Answer 2

Esto no es una respuesta completa como no entiendo la mitad de la pregunta, y han pedido que la precisión en la otra mitad, pero es demasiado largo para ser un comentario

No, no es implícitamente usando el teorema de isomorfismo, es con el hecho de que (en estructuras algebraicas) la corestriction de un inyectiva de morfismos a su imagen es un isomorfismo, que es la forma más básica que el primer teorema de isomorfismo.

Entonces, para tus preguntas :

$\bullet$ No deberías tratar de demostrar el teorema de isomorfismo en categorías generales, ya que simplemente no es cierto en general. En primer lugar, usted tendría que tener una noción de la imagen y de kernel, que no suelen tener sentido en una categoría arbitraria, y aun cuando ellos existen, no es cierto que el teorema sostiene. Para mí hacer una declaración precisa y dar contraejemplos aquí usted tiene que decirme lo que quieres decir por "imagen" en una categoría general, por ejemplo, se refiere a esta definición ?

$\bullet$ No comprendo esta pregunta. Déjenme decirles cómo me siento sobre el teorema de isomorfismo (el primero, los demás son sólo corolarios inmediatos) para grupos y estructuras algebraicas más generalmente, en la esperanza de que va a arrojar algo de luz sobre ellos; y tal vez usted puede editar su post para aclarar tu pregunta.

El primer teorema de isomorfismo es básicamente una tautología : dice usted que si usted tiene un surjective de morfismos y declarar "$x=y$" precisamente cuando $f(x)=f(y)$ , entonces obtendrá un inducida por el mapa en la nueva estructura de su declaración es verdadera, y que este inducida por el mapa es inyectiva, y tiene la misma imagen que el original. El hecho de que tiene la misma imagen es evidente, porque hay una factorización, así que no voy a mencionar. El hecho de que usted obtenga un inducida por el mapa también es obvio, porque si usted no sabe qué antecedente para elegir, no importa, ya que todos tienen las mismas imágenes; de manera que elija cualquier antecedente.

Por último, el hecho de que la inducida por el mapa es inyectiva también es obvio porque has obligado a ser ! Si $x,y$ tienen la misma imagen en la nueva estructura, entonces cualquier antecedente de ellos también, por lo que se han declarado a ser igual ! Por lo tanto, $x=y$ por la pura voluntad de usted, la nueva estructura creador. En otras palabras, el primer teorema de isomorfismo es ganas de un mapa para ser inyectiva, y declarando que "es", y al hacerlo, basta con crear una nueva estructura (el cociente de la estructura), en la que se encuentra, precisamente porque usted declaró.