¿El espacio de funciones continuas por partes en$[0,1]$ está completo en$L^2[0,1]$?

Question

Si consideramos a $PC[0,1]$ como un subconjunto de $L^2[0,1]$ , ¿está completo cuando está equipado con la norma $L^2$ ? He intentado demostrar esto durante algún tiempo, pero no llegué muy lejos. La búsqueda de un contraejemplo también ha resultado infructuosa. Por lo tanto, estaría agradecido por alguna ayuda.

Gracias.

Answer 1

Esto es falso. Deje $C$ 'grasa' Cantor conjunto de medida positiva. Desde $C$ es cerrado podemos encontrar funciones continuas $f_n$ con valores en $[0,1]$ tal que $f_n \to I_C$ pointwise. Por Delimitada Teorema de Convergencia $f_n \to I_C$ en $L^{2}[0,1]$. Pero $I_C$ no es seccionalmente continua.

Answer 2

Si ahora que $C[0,1]$ es denso en $L^2(0,1)$, hay otro enfoque simple: Desde $PC[0,1]$ contiene $C[0,1]$, el cierre de $PC[0,1]$ es $L^2(0,1)$. De $PC[0,1] \ne L^2(\Omega)$, esto implica que $PC[0,1]$ no está cerrado. Por lo tanto, $PC[0,1]$ no puede ser completa.

Answer 3

Si $P[0,1]$ no eran densos en $L^2[0,1]$, entonces no existiría $f\in L^2[0,1]$, $f\ne 0$, de tal manera que $\langle f, \chi_{[0,a]}\rangle = 0$ para todos los $0 \le a \le 1$. Pero eso implicaría que $\int_0^a f(t)dt=0$ para todos los $a$. Por la Diferenciación de Lebesgue Teorema, $\frac{d}{da}\int_0^1 f(t)dt=f(a)$ a.e., lo cual implicaría que $f=0$ en $L^2[0,1]$ y darle una contradicción. Por lo tanto, $P[0,1]$ es denso en $L^2$.