Definición de observador y tiempo medido por diferentes observadores en relatividad general.

Question

Un observador en la relatividad general se define como un futuro dirigido timelike worldline \begin{align*} \gamma:I \subset \mathbb R &\to M \\ \lambda &\mapsto \gamma(\lambda) \end{align*} junto con una base ortonormales $e_a(\lambda) \in T_{\gamma(\lambda)}M$ donde $e_0(\lambda)= v_{\gamma, \gamma(\lambda)}$ y \begin{align} g(\gamma(\lambda))(e_a(\lambda),e_b(\lambda))=\eta_{ab}~. \qquad (1) \end{align} Aquí, $v_{\gamma, \gamma(\lambda)}$ es la velocidad de la worldline $\gamma$ en el punto de $\gamma(\lambda)\in M$ e $g$ es la métrica de tensor de campo en $M$. El tiempo medido por el reloj llevado por este observador entre los eventos $\lambda_0, \lambda_1$ se define como \begin{align} \tau_\gamma = \int_{\lambda_0}^{\lambda_1} d\lambda \sqrt{g(v_{\gamma, \gamma(\lambda)},v_{\gamma, \gamma(\lambda)})}~. \end{align} Sin embargo, \begin{align} g(v_{\gamma, \gamma(\lambda)},v_{\gamma, \gamma(\lambda)}) = g(e_0(\lambda),e_0(\lambda))=1 \qquad (2) \end{align} lo que sigue a partir de la exigencia de eq.(1). Estamos utilizando la firma $(+,-,-,-)$.

Todo esto es de definición estándar. Supongamos que tenemos otra observador $\delta$: \begin{align*} \delta:I \subset \mathbb R &\to M \\ \lambda &\mapsto \delta(\lambda) \end{align*} y el tiempo medido por su reloj entre las mismas dos eventos $\lambda_0, \lambda_1$es \begin{align} \tau_\delta = \int_{\lambda_0}^{\lambda_1} d\lambda \sqrt{g(v_{\delta, \delta(\lambda)},v_{\delta, \delta(\lambda)})}~. \end{align} A partir de las ecuaciones (1) y (2), obtenemos $\tau_\gamma = \tau_\delta$ y esto será cierto para todos los observadores de la medición de tiempo entre el $\lambda_0, \lambda_1$.

Sin embargo, sé que mi conclusión es equivocada. ¿Donde iba por mal camino?

Edit: estoy tratando de hacer que la situación a la que me refiero más clara. $\gamma(\lambda)$ e $\delta(\lambda)$ reunión en puntos de $p,q \in M$">

(Lo siento por esta gran foto. Quería hacerlo más pequeño, pero no podía entender cómo ir sobre ella.) Esta imagen muestra los dos observadores $\gamma$ e $\delta$ definido anteriormente. Ambos worldlines están parametrizados por el mismo parámetro $\lambda$. Esto no necesita ser el caso, pero yo quiero que llevéis mi punto. Deseo para determinar el buen tiempo medido por los observadores $\gamma$ e $\delta$ entre los eventos $p$ e $q$ en el espacio-tiempo colector $M$. \begin{align} p =& \ \gamma(\lambda_1) = \delta(\lambda_1) \\ q =& \ \gamma(\lambda_2) = \delta(\lambda2) \end{align} Este escenario es posible, ¿no? No veo por qué se $\tau_\gamma$ e $\tau_\delta$ debe de ser el mismo. (De hecho, en la paradoja de los gemelos, por ejemplo, podemos ver esto de forma explícita.) Sin embargo, a partir de la ecuación (1) y la deducción anterior, se deduce que el $\tau_\gamma = \tau_\delta$. Este es mi confusión.

Nota De la definición de un observador en la relatividad general, el observador worldline parece ser siempre parametrizarse por su propertime. Pero el propertime medido por dos observadores entre los mismos dos eventos no tiene que ser el mismo, ¿no?

Answer 1

Su conclusión es correcta, porque lo que están haciendo, diciendo que $g(v_{\gamma,\gamma(\lambda)},v_{\gamma,\gamma(\lambda)}) = 1$ es que el parámetro de $\lambda$ es exactamente igual al tiempo apropiado. Usted puede tener diferentes parametrizaciones $\tilde{\lambda}$ de la curva de $\gamma$ que $g(v_{\gamma,\gamma(\tilde{\lambda})},v_{\gamma,\gamma(\tilde{\lambda})}) \neq 1$ y luego, por supuesto, no corresponden a la época de el observador sobre la curva.

Su conclusión de que el OP solo dice que si usted tiene dos curvas parametrizadas por el tiempo apropiado, entonces cuando se desarrolló para la misma cantidad de tiempo apropiado, la misma cantidad de tiempo apropiado, pasa sobre ellos. Una muy tautológica declaración!

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Como las preocupaciones de su edición:

Cuando el estado $$p = \gamma(\lambda_1) = \delta(\lambda_1)$$ $$q = \gamma(\lambda_2) = \delta(\lambda_2)$$ e imponer la normalización de las tangentes $g(v_{\gamma,\gamma(\lambda)},v_{\gamma,\gamma(\lambda)}) = g(v_{\delta,\delta(\lambda)},v_{\delta,\delta(\lambda)}) = 1$, usted NO elegir dos curvas (worldlines) que pasa a través de $p,q$. En su lugar, usted está eligiendo dos curvas para que la misma cantidad adecuada de tiempo que pasa entre el $p,q$.

Tal vez usted debería considerar la posibilidad de un ejemplo concreto. Elija un espacio-tiempo, tal como la de Minkowski y dos elegidos al azar de las curvas de $\gamma, \delta$ de los que tienen un arbitrario parametrización $\gamma(\tilde{\lambda}_\gamma), \delta(\tilde{\lambda}_\delta)$ y que se encuentran en algunos de los eventos $p,q$. Ahora encontrar el buen tiempo parametrisation $\lambda$ a lo largo de toda la curvas de $g(v_{\gamma,\gamma(\lambda)},v_{\gamma,\gamma(\lambda)}) = g(v_{\delta,\delta(\lambda)},v_{\delta,\delta(\lambda)}) = 1$, esto puede ser una refundición de dos de primer orden ecuaciones diferenciales para las funciones de la $\lambda(\tilde{\lambda}_{\gamma,\delta})$. Cada una de las dos ecuaciones diferenciales tienen una única solución de una sola integración constante. Mediante el establecimiento $p = \gamma(\lambda_1) = \delta(\lambda_1)$, especificar estos dos constantes de integración. Por lo tanto, no tienen ninguna libertad para establecer la misma condición para $\lambda_2$ a $q$ debido a que no hay libertad en la solución de la izquierda y el valor de $\lambda$ a $q$ estará, en general, diferentes para cada una de las curvas. $\blacksquare$

Answer 2

Estoy contestando a mi pregunta de una manera que es más transparente para mí. No hay ninguna información adicional en comparación con el aceptado respuesta o comentarios en el mismo.

La definición de un observador $(\gamma, e)$ es dado en el OP. Por definición, el worldline de el observador es una curva con velocidad de unidad es decir, \begin{align} g(v_{\gamma, \gamma(\lambda)},v_{\gamma, \gamma(\lambda)}) = 1~. \qquad (1) \end{align} Esto implica que la curva programable por su parámetro de longitud de arco. El tiempo apropiado que un observador $(\gamma,e)$ medidas entre dos eventos $p=\gamma(\lambda=a)$ e $q=\gamma(\lambda=b)$ en el espacio-tiempo es, \begin{align} \tau_\gamma &= \int_{a}^{b} d\lambda \sqrt{g(v_{\gamma, \gamma(\lambda)},v_{\gamma, \gamma(\lambda)})} \\ &= \int_{a}^{b} d\lambda~. \end{align} Así, cualquiera de los dos observadores cuya longitud de arco (o momento adecuado) de los parámetros de aumentar en la misma cantidad entre los eventos $p$ e $q$ va a medir la misma adecuada intervalo de tiempo. (Naturalmente, los observadores cuya longitud de arco cambio de parámetros por diferentes cantidades entre $p$ e $q$ va a medir diferentes adecuada intervalos de tiempo.)

Nota: Suponga, nos relajar el requisito de eq. (1) de tener una unidad de velocidad de worldline en el observador. Así, se nos permite reparameterise el observador worldline por algún parámetro arbitrario. Ahora, la longitud de una curva de $\gamma$, \begin{align} L[\gamma] = \int_{a}^{b} d\lambda \sqrt{g(v_{\gamma, \gamma(\lambda)},v_{\gamma, \gamma(\lambda)})}~. \end{align} es invariante bajo reparameterisation. Esto significa que, dada una curva suave \begin{align} \gamma:I \to M \end{align} si \begin{align} \sigma:\tilde{I} \to I \end{align} es suave, bijective y, a continuación, el aumento de \begin{align} L[\gamma]=L[\gamma \circ \sigma]~. \end{align} Debido a esto, el intervalo de tiempo entre el espacio-tiempo de los eventos de $p$ e $q$ será el mismo a lo largo de la reparameterised curva de $(\gamma \circ \sigma)$.