Estoy aprendiendo sistemas de dimensiones infinitas desde el punto de vista matemático y tratando de entenderlo desde la perspectiva física.
Me gustaría entender si los sistemas de dimensiones infinitas tienen sentido en la física, especialmente cuando se hace necesario en la teoría de control cuántico. ¿Hay algún ejemplo sencillo e intuitivo?
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No sé mucho sobre la teoría de control cuántico, pero puedo poner un ejemplo sencillo de la mecánica cuántica normal: el de una partícula en una caja. Este es uno de los sistemas más sencillos que se pueden estudiar en QM, pero incluso aquí aparece un espacio dimensional infinito.
La indexación de los estados propios de energía por $n$ para que $$H|n\rangle=E_n|n\rangle$$ hay un número infinito de estados posibles, uno por cada número entero. Cada estado con su propia energía: $$E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}.$$ Así, si se quiere describir un estado cuántico general en este sistema se escribiría como $$|\psi\rangle=\sum_{n=1}^\infty c_n|n\rangle,$$ donde $c_n$ es un número complejo. $|\psi\rangle$ es entonces un ejemplo de un vector en un espacio dimensional infinito donde cada estado posible es un vector base, y el $c_n$ son los coeficientes de expansión en esa base.
Por supuesto, puede imaginarse el $n$ indexando alguna otra colección de estados de algún otro sistema. De hecho, en la mayoría de los casos la dimensión del espacio de todos los estados posibles de un sistema cuántico será de dimensión infinita.
"Infinito" para mí no tiene mucho sentido en la física. Es una bonita herramienta matemática, la necesitas para hacer cálculos; pero para las cosas reales prefiero "muy grande". He visto muchas cosas "muy grandes"; nunca he visto nada infinito.
De todos modos, más en serio, utilizamos todo el tiempo espacios de dimensión infinita, son útiles. Desde el ejemplo de la "partícula en una caja" por >JSorngard:
Quieres mantener tu partícula en un estado propio, contra las perturbaciones externas. Puede escapar yendo a otros estados propios. Éstos, en teoría, son infinitos, así que para calcular la probabilidad de que tu partícula salga de tu estado propio favorito, sumas la probabilidad de transición a cada uno de esos estados (infinitos). ¡¡Y funciona!!
En la práctica no hay realmente infinitos estados propios; la partícula está confinada por alguna trampa física real que tiene un tamaño finito y sólo puede contener una energía finita. Pero increíblemente a menudo se puede ignorar esta finitud, ya que la suma infinita es casi idéntica a la suma (muy grande) del estado propio real.
Otro argumento a favor de la utilidad/realidad de los infinitos se refiere a la notación: utilizamos infinitos para definir y manipular un objeto normal. Un ejemplo es la expansión de Taylor de $e^x$ : Es una suma infinita, su utilidad, no da lugar a nada sin sentido.
Bueno, vale, puede que lo haya visto, pero no conseguí verlo todo, ¡mi pequeño cerebro sólo registró una pequeña parte!
Tampoco "verás" los números irracionales, así que supongo que sólo puedes utilizar las matemáticas finitas para hacer física.
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