Una prueba para $\nabla |u|^p = p\ \text{sgn}(u)|u|^{p-1}\nabla u$ .

Question

Creo que la fórmula $$\nabla |u|^p = p\ \text{sgn}(u)|u|^{p-1}\nabla u $$ sea cierto para $u\in W^{1,p}(\Omega)$ , donde $\Omega$ es un dominio abierto con una bonita frontera, pero no he podido encontrar una buena referencia para esto. Lo siento si esto ya se ha preguntado.

La suposición habitual que suelo ver respecto a la regla de la cadena para las funciones de Sobolev, es decir $$ \nabla F(u) = F'(u)\nabla u, $$ es que $F\in C^1$ con derivada acotada (o quizás una función Lipschitz). Quiero $F(t)=|t|^p$ que no satisface esa suposición.

Mi idea de la prueba es la siguiente: Me gustaría imitar la prueba del caso $p=1$ por lo que primero mostramos un resultado similar para $$ F_\varepsilon(t) = (\varepsilon^2 + t^2)^{p/2} $$ por aproximación con $F_\varepsilon(u_n)$ , donde $u_n\to u$ en $W^{1,p}$ y $u_n\in C_c^\infty(\Omega)$ . Entonces tomamos $\varepsilon \to 0$ para aproximar $|\cdot|^p$ . Aunque el argumento habitual utilizando el Teorema de Convergencia Dominada no funcionaría, creo que el Teorema de Convergencia de Vitali podría servir.

¿Alguien conoce una referencia de este resultado? Además, si la fórmula no se mantiene en espacios generales (es decir $u\notin W^{1,p}$ ) entonces, ¿alguien tiene un contraejemplo?

He visto las pruebas de los casos $p=1,2$ . Encontrar una referencia para un general $p\in [1,\infty)$ resulta ser mucho más difícil de lo que había previsto.

Answer 1

Un enfoque alternativo es truncar la función $F(t) = |t|^p.$ Para cada $M>0$ definir $T_M(x) = \min\{|t|,M\}$ y considerar $t \mapsto T_M(t)^p.$ Se trata de una función de Lipschitz que es a trozos $C^1,$ por lo que se aplica la regla de la cadena para las funciones de Sobolev ( $\dagger$ ).

Por lo tanto, si $u \in W^{1,p}(\Omega),$ tenemos $T_M(u)^p \in W^{1,1}(\Omega)$ con, $$ \nabla (T_M(u)^p) = \mathbf 1_{\Omega_M}\,p\, \mathrm{sgn}(u) |u|^{p-1}\nabla u, $$ donde $\Omega_M = \{ x \in \Omega : |u(x)| \leq M \}.$ Tenga en cuenta que $T_M(u)^p \in W^{1,p}(\Omega)$ también, pero sólo podremos demostrar que el límite $|u|^p$ se encuentra en $W^{1,1}(\Omega).$

Hay un par de maneras de justificar el límite como $M \rightarrow \infty,$ y el resultado de convergencia que me gusta utilizar es el siguiente:

Lema : Si $f_n, f \in L^1(\Omega)$ tal que $f_n \rightarrow f$ casi en todas partes y $\int_{\Omega} |f_n| \,\mathrm{d} x \rightarrow \int_{\Omega} |f| \,\mathrm{d} x,$ entonces $f_n \rightarrow f$ en $L^1(\Omega).$

Esto se puede demostrar reproduciendo el argumento del teorema de convergencia dominada ( para más detalles, véase por ejemplo aquí ).

Una vez que tienes esto, es fácil ver cómo proceder. Por convergencia monótona, como $M \rightarrow \infty$ obtenemos $$ \int_{\Omega_M} \left|\nabla(T_M(u)^p) \right|\,\mathrm{d}x \rightarrow \int_{\Omega} p |u|^{p-1}|\nabla u| \,\mathrm{d}x \leq p \lVert u\rVert_{L^p(\Omega)}^{p-1} \lVert \nabla u \rVert_{L^p(\Omega)} \leq p\lVert u \rVert_{W^{1,p}(\Omega)}^p. $$ Por lo tanto, obtenemos $\nabla(T_M(u)^p) \rightarrow p\,\mathrm{sgn}(u)|u|^{p-1}\nabla u$ en $L^1(\Omega).$ Desde $T_M(u)^p \rightarrow |u|^p$ en $L^1(\Omega),$ obtenemos la convergencia en $W^{1,1}(\Omega)$ y, por tanto, el resultado es el siguiente.

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( $\dagger$ ) En general, es cierto que si $F$ es Lipschitz y $u \in W^{1,p}(\Omega),$ entonces $F(u) \in W^{1,p}(\Omega),$ ( añadido más tarde ) pero la prueba de ello no es evidente. La clave es demostrar que si $u \in W^{1,1}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ y $A \subset \mathbb R$ es un conjunto nulo, entonces $\nabla u = 0$ a.e. en $u^{-1}(A).$ Esto significa que $F'(u)\nabla u$ se define independientemente del representante de $F'$ elegimos. Una prueba de la regla de la cadena y el hecho anterior se puede encontrar en lo siguiente:

J. Serrin, D. Varberg. "Una regla de cadena general para las derivadas y la fórmula de cambio de variables para la integral de Lebesgue". The American Mathematical Monthly, Vol. 76, nº 5 (mayo, 1969), pp. 514-520.

En nuestro caso, sin embargo, podemos escribir simplemente $T_M(u)^p = g(T_M(u))$ donde $g : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ es un $C^1$ con derivada acotada tal que $g(t) = t^p$ sur $[0,M].$ Entonces el resultado se obtiene aplicando la $C^1$ y los casos de valor absoluto.

Answer 2

Creo que puedes utilizar el siguiente truco para resolver el problema. Tome dos secuencias de funciones suaves $f_{\epsilon} \to f, g_{\epsilon} \to g$ en $L^p$ entonces

$$ |f_{\epsilon}|^{p-1} g_{\epsilon} \to |f|^{p - 1} g \qquad \text{ in } \ L^1. $$

Esto se deduce (sumando y restando cosas) de la estimación: $$ \int \big\vert |f_{\epsilon}|^{p-1} g_{\epsilon} \big\vert \le \|f_{\epsilon}\|_{L^p}^{\frac{p}{q}} \| g_{\epsilon}\|_{L^p} $$ con $1/q +1/p = 1.$ Esta es la desigualdad de Holder.

Entonces su resultado se sigue tomando una aproximación suave de $u$ y dejar que $f = u, g = \mathrm{sgn}(u) \nabla u .$

Answer 3

Una buena prueba en el Análisis de Lieb y Loss Capítulo 6 (Distribuciones) página 152.