EDO para el diferencial de un flujo en un colector.

Question

Esta pregunta es una consecuencia de mi horrible conocimientos en geometría diferencial. Se puede enunciarse de la siguiente manera.

Considere la posibilidad de la solución de $y_p(t)$ a la educación a distancia $$\partial_t y_p(t) = X(y_p(t)), \qquad y_p(0) = p$$ where we are given a manifold $M \ni p$ and a vector field $X$ (everything is smooth). This induces a flow $\varphi(t,p) = y_p(t).$ En el espacio Euclidiano me puede escribir la ecuación de la derivada de esta corriente:

$$ \partial_t D_x\varphi(t,x) = D_x X (\varphi(t,x)) \cdot D_x\varphi(t,x), \qquad D_x \varphi(0,x) = Id. $$ Mi pregunta es: ¿cómo puedo escribir esta ecuación en y "invariante", sobre un colector?

Crucialmente, ¿cuál es la correcta generalización de la matriz producto $ D_x X (\varphi(t,x)) \cdot D_x\varphi(t,x)$?

En mi no-conocimiento de la geometría diferencial aprendí que la diferenciación de campos vectoriales es uno de los poco complicado las cosas...

Preguntas similares han sido hechas. Aquí la misma pregunta apareció, pero la respuesta que se refiere el determinante del Jacobiano y no el Jacobiano, yo creo (https://mathoverflow.net/questions/284718/derivative-of-the-flow-for-odes-on-manifolds).

EDIT: En la respuesta que he publicado abajo parece que, dada una conexión es posible escribir una ODA para el flujo en el sentido clásico. La siguiente pregunta sigue abierta:

Es posible escribir una ODA para la diferencial de forma generalizada (sin asumir la existencia de una conexión), tal que, dada una conexión de la ecuación se reduce a la clásica?

Answer 1

Aquí están algunos cálculos, que he puesto como una respuesta, por lo que no surge la confusión.

Supongamos tenemos un colector de Riemann admite una conexión simétrica. Fix $p \in M, q \in T_p M.$ Tenemos en cuenta el diferencial de $D_p \varphi_t (q) \in T_{\varphi_t(p)} M$. Vemos que hemos construido un campo vectorial a lo largo de la curva de $\varphi_t(p)$. Es así que hace sentido para diferenciar a lo largo de la curva para encontrar una ecuación. Tenemos:

$$D_t (D_p \varphi_t(q)) = q^j \frac{\partial}{\partial x^j} [ \partial_t \bar{x}^k(\varphi_t(p)) ] \frac{\partial}{\partial \bar{x}^k} + X^i(\varphi_t(p)) q^j \frac{\partial \bar{x}^\ell (\varphi_t(p))}{\partial x^j} \Gamma^k_{i \ell} \frac{\partial}{\partial \bar{x}^k}.$$ Bajo el supuesto de simetría esto puede ser reescrita como:

$$ D_t (D_p \varphi_t(p)) = \nabla_{D_{p} \varphi_t(q)} X = \nabla X \cdot D_{p} \varphi_t(q) $$

donde la $\cdot$ indica una contracción a lo largo de la correcta indeces.

Por otro lado, si no asumimos la simetría parece que nos encontramos con la ecuación:

$$ D_t (D_p \varphi_t(p)) = \nabla X \cdot D_{p} \varphi_t(q) + \tau(X, D_{p} \varphi_t(p)) $$

donde $\tau$ es el tensor de torsión.