Ecuación diferencial no lineal de segundo orden.

Question

Un problema físico que me empiezan a resolver me llevó a este Segundo orden no lineal de la ecuación diferencial:

$$f(x)\biggl(\frac{\text d^2y}{\text dx^2}-f(x)y^\alpha\biggr)=a \frac{\text dy}{\text dx}+b $$

con estas condiciones: $y(0)=0$ e $y'(0)=0$

y donde $y = y(x)$ e $a,b,\alpha$ son constantes. El $f(x)$ es un simple polinomio del tipo: $$ f(x) = c+dx$$ with $c,d$ constants. I try different substitutions (for exemple $u=y^\alpha$, $u=y^\alpha y'$) para encontrar la solución analítica, pero yo no podía resolver el problema. Alguien me puede ayudar o sugerir algunas ideas para resolver la ecuación. Gracias

Answer 1

Esta no es una respuesta para el problema completo, pero puede proporcionar alguna información cualitativa.

Caso $c=d=0$. La única solución es la función cero, que corresponde a $b=0$. De lo contrario, no se encuentra una solución.

Caso $a=d=0$. La multiplicación de la original de la ecuación diferencial por $y' = \frac{\text d}{\text d x} y$ conduce a $c y' y'' = c^2 y' y^\alpha + b y'$. La integración de la ecuación anterior nos da la ecuación diferencial $$ (y')^2 = y \a la izquierda(A y^{\alpha} + B\right) \qquad A = 2\tfrac{c}{1 + \alpha}, \qquad B = 2\tfrac{b}{c} $$ donde $\alpha > -1$ (la condición inicial $y'(0) = 0$ ha sido utilizado). El lado izquierdo es no negativo, y así es el lado derecho, lo que nos permite reescribir el problema como $$ y' = \pm \sqrt{ y \a la izquierda(A y^{\alpha} + B\right)} \qquad\text{con}\qquad y \a la izquierda(A y^{\alpha} + B\right) \geq 0 . $$ El valor de $y=0$ es un equilibrio de la ecuación diferencial, la cual le dice que la única solución para el IVP es la función cero, obtenidos por $\alpha > -1$.

El local de existencia y unicidad de soluciones en la vecindad de $x=0^+$ es altamente dependiente de los valores de los parámetros. Dado que el problema proviene de la física, no pueden ser estimaciones o límites en los parámetros que se pueden utilizar para analizar local de existencia y unicidad antes de tratar de resolver el pleno de la urografía EXCRETORA (cuasi)-analítica o numéricamente.

Answer 2

Sugerencia:

Suponga $d\neq0$ para el caso de la clave:

Deje $r=x+\dfrac{c}{d}$ ,

A continuación, $dr\dfrac{\text d^2y}{\text dr^2}-d^2r^2y^\alpha=a\dfrac{\text dy}{\text dr}+b$

$dr\dfrac{\text d^2y}{\text dr^2}-a\dfrac{\text dy}{\text dr}-d^2r^2y^\alpha-b=0$

$\dfrac{\text d^2y}{\text dr^2}-\dfrac{a}{dr}\dfrac{\text dy}{\text dr}-dry^\alpha-\dfrac{b}{dr}=0$

Deje $y=r^ku$ ,

A continuación, $\dfrac{\text dy}{\text dr}=r^k\dfrac{\text du}{\text dr}+kr^{k-1}u$

$\dfrac{\text d^2y}{\text dr^2}=r^k\dfrac{\text d^2u}{\text dr^2}+kr^{k-1}\dfrac{\text du}{\text dr}+kr^{k-1}\dfrac{\text du}{\text dr}+k(k-1)r^{k-2}u=r^k\dfrac{\text d^2u}{\text dr^2}+2kr^{k-1}\dfrac{\text du}{\text dr}+k(k-1)r^{k-2}u$

$\therefore r^k\dfrac{\text d^2u}{\text dr^2}+2kr^{k-1}\dfrac{\text du}{\text dr}+k(k-1)r^{k-2}u-\dfrac{a}{dr}\left(r^k\dfrac{\text du}{\text dr}+kr^{k-1}u\right)-dr^{\alpha k+1}u^\alpha-\dfrac{b}{dr}=0$

$r^k\dfrac{\text d^2u}{\text dr^2}+\dfrac{(2dk-a)r^{k-1}}{d}\dfrac{\text du}{\text dr}+\dfrac{k(dk-a-d)r^{k-2}u}{d}-dr^{\alpha k+1}u^\alpha-\dfrac{b}{dr}=0$

Elija $k=\dfrac{a}{2d}$ , la educación a distancia se convierte en

$r^\frac{a}{2d}\dfrac{\text d^2u}{\text dr^2}-\dfrac{a(a+2d)}{4d^2}r^{\frac{a}{2d}-2}u-dr^{\frac{a\alpha}{2d}+1}u^\alpha-\dfrac{b}{dr}=0$

$\dfrac{\text d^2u}{\text dr^2}-\dfrac{a(a+2d)}{4d^2}r^{-2}u-dr^{\frac{a(\alpha-1)}{2d}+1}u^\alpha-\dfrac{b}{dr^{\frac{a}{2d}+1}}=0$