Demostrar que .

Question

De dicha suma (sin el $\lim$ notation) es convergente $\forall a \in \Bbb{N}^+$, debido a que: $$ \begin{split} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^a}{n^{an}} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n! n! \dots n!}{n^n n^n \dots n^n} \stackrel{\quad \text{because} \\ \forall n \in \Bbb{N}^+ \ n! < n^n}{\le} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \\&\stackrel{\quad \text{Stirling-} \\ \text{approximation}}{\approx} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}{n^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{2\pi n}}{e^n} \\ &= \sqrt{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{e^n} = \sqrt{2\pi} \ Li_{-\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{e}\right) \approx 1.7728 \end{split} $$ Es también la disminución de $\forall a \in \Bbb{N}^+$: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^a}{n^{an}} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{(n!)^{a-1}}{n^{(a-1)n}}\right)\frac{n!}{n^n} \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{a-1}}{n^{(a-1)n}}$$ Debido a que el lado izquierdo se multiplica por un término que siempre es $\le 1$, es decir, $$\forall n \in \Bbb{N}^+ \quad \frac{n!}{n^n} \le 1$$ Así que el límite existe: $$\exists \lim_{a \to \infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^a}{n^{an}} = ? \in \Bbb{R}^+_0$$ Examiné la suma en Python y escribió un código para calcular a $a=20$, cada vez que la adición de hasta la suma de hasta $n=1000$:

import math

def sum_term(n,a):
    return (pow(math.factorial(n),a))/pow(n,a*n)

for a in range(1,21):
    value = 0
    for n in range(1,1001):
        value += sum_term(n,a)
    print("a = " + str(a) + " | lim = " + str(value))

Y su resultado fue:

a = 1 | lim = 1.879853862175259
a = 2 | lim = 1.3099287490030924
a = 3 | lim = 1.1368584537249211
a = 4 | lim = 1.065018132743388
a = 5 | lim = 1.0317992491522754
a = 6 | lim = 1.0157461094449747
a = 7 | lim = 1.0078393253936435
a = 8 | lim = 1.0039122029986458
a = 9 | lim = 1.0019544471210995
a = 10 | lim = 1.0009768562327848
a = 11 | lim = 1.000488346517213
a = 12 | lim = 1.0002441551281933
a = 13 | lim = 1.0001220735353726
a = 14 | lim = 1.0000610358724382
a = 15 | lim = 1.0000305177372775
a = 16 | lim = 1.0000152588244295
a = 17 | lim = 1.0000076294023905
a = 18 | lim = 1.0000038146990122
a = 19 | lim = 1.000001907349021
a = 20 | lim = 1.0000009536744026

Es bastante convincente de que el límite tiende a $1$, sin embargo, yo quiero probar este matemáticamente. Es allí una manera de hacer esto con tal vez el teorema del encaje o de otros métodos?

Answer 1

Sugerencia: tenga en cuenta que $n!/n^n\le 1/n$ para todos $n.$ Por lo tanto, su suma es igual a $1+ R(a),$ donde

PS

Por lo tanto, todo lo que necesita mostrar es que $$0<R(a)\le \sum_{n=2}^{\infty}\left (\frac{1}{n}\right)^a.$ como $R(a)\to 0$

Answer 2

Tal vez aquí está el enfoque. El primer término de su suma es 1, y todos los demás están en $(0,1)$ . Entonces, si intercambiamos los dos límites, $x_n^a \to 0$ como $a \to \infty$ , entonces la suma total será cero.

Sin embargo, debe verificar los axiomas si se pueden intercambiar los límites, pero todo parece seguro, tanto positivo como convergente ...

Answer 3

Es elemental que $$\frac{n!}{n^n}\le\frac12$$ for all $ n> 1 $ y la serie se comprime

PS

Para grandes $$\left[1,\frac1{1-\dfrac1{2^a}}\right].$ , es aproximadamente

$a$ $ según lo atestiguado

PS