¿Existe un ejemplo fácil de un mismo espacio $X$ con dos métricas diferentes $d$ y $e$ tal que una misma secuencia $\{x_n\}$ es una secuencia de Cauchy para ambas métricas, pero converge sólo para una de ellas?
Respuestas
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Dejemos que $X=[0,\infty)$ , dejemos que $d(x,y)=\lvert x-y\rvert$ y que $$e(x,y)=\begin{cases}\lvert x-y\rvert&\text{ if }x,y\neq0\\\lvert x+1\rvert&\text{ if }x\neq0\text{ and }y=0\\\lvert y+1\rvert&\text{ if }x=0\text{ and }y\neq0\\0&\text{ if }x,y=0.\end{cases}$$ Entonces la secuencia $\left(\frac1n\right)_{n\in\mathbb N}$ es una secuencia de Cauchy con respecto a ambas métricas, pero sólo converge en $(X,d)$ .
Poon Levi
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Siempre se puede tener algún ejemplo artificial en el que simplemente se "mueva el límite a otro lugar". Por ejemplo, dejemos que $X=\mathbb{R_{\ge 0}}$ , $d_1$ sea la métrica euclidiana y $d_2(x, y)=|\hat{x}-\hat{y}|$ , donde $ \hat{x}=-1$ si $x=0$ y $ \hat{x}=x$ en caso contrario. Entonces la secuencia $x_n=\frac 1n$ converge en $(X, d_1)$ pero no en $(X, d_2)$ .
goblin
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Dependiendo de lo que quieras decir, la respuesta es "no". En particular, si por "dos métricas en el mismo espacio" te refieres a dos métricas en el mismo conjunto que inducen la misma topología, entonces la respuesta es no porque la convergencia es una propiedad topológica.
Sin embargo, las otras respuestas son correctas si se permite que las topologías inducidas sean diferentes.
Acccumulation
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Tener "la misma X" no tiene mucho sentido, ya que no hay ninguna estructura compartida más que la cardinalidad. Dado cualquier otro conjunto Y con métrica $d_Y$ y un mapa inyectivo $\phi: X \rightarrow Y$ puede definir $e(x_1,x_2) = d_Y(\phi(x_1),\phi(x_2))$ . Así que todo lo que tienes que hacer es encontrar dos espacios con la misma cardinalidad donde uno tiene una secuencia de Cauchy convergente y el otro tiene una no convergente. O encontrar una secuencia de Cauchy convergente y una secuencia de Cauchy no convergente en el mismo espacio, y luego mapear una secuencia a la otra.
