Que $M$ ser una matriz de #% de cero $3\times 3$% #% de satisfacción

Question

Deje $M$ ser un no-cero $3\times 3$ matriz de satisfacciones $M^3=0$ donde $0$ $3\times 3$ cero de la matriz. Entonces
$(A)\det(\frac{1}{2}M^2+M+I)\neq0$

$(B)\det(\frac{1}{2}M^2-M+I)=0$

$(C)\det(\frac{1}{2}M^2+M+I)=0$

$(D)\det(\frac{1}{2}M^2-M+I)\neq0$
Este es un múltiplo de la elección correcta del tipo de pregunta.Más de uno puede ser la respuesta correcta.

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Mi intento:
Deje $M$ ser un no-singular de la matriz,por lo tanto su inversa existe.
$M^3=0$
Multiplicar ambos lados por $M^{-1}$ a obtener,$M^2=0$.
De nuevo se multiplican ambos lados por $M^{-1}$ a obtener,$M=0$
Pero esto es una contradicción.Por lo $M$ es un singular de la matriz.Su inversa no existe.
Pero no sé cómo resolver más.Por favor me ayude.Gracias.

Answer 1

$M^3=0$ implica$\det(M-xI)=-x^3$ (ya que$M$ satisface su propia ecuación característica). Descomponer la expresión en cuestión en factores lineales:$$\det(\frac 1 2M^2\pm M+I)=\frac 1 8\det(M-x_{\pm1}I)\det(M-x_{\pm2}I)=\frac 1 8x_{\pm1}^3x_{\pm2}^3=\frac 1 82^3=1$$ where $ x _ {\ pm} 1, x _ {\ pm2}$ are roots of $ x ^ 2 \ pm2x +2 = 0$ and hence $ x_ {\ pm1} x _ {\ pm2} = 2 $.

Answer 2

Si ponemos $M$ en la forma canónica de Jordan, para alguna matriz invertible $Q$ tendremos $$M=QAQ^{-1}$ $ donde $ de $$A=\left(\begin{smallmatrix}0&a&0\0&0&b\0&0&0\end{smallmatrix}\right)$ $a,b$ encuentran cada $0$ o $1$ (no tanto $0$ $M\neq 0$). Por lo tanto, escribimos $$0.5M^2+M+I=0.5QAQ^{-1}QAQ^{-1}+QAQ^{-1}+QIQ^{-1}=$ $ $$=Q(0.5A^2+A+I)Q^{-1}$ $ tomar factores determinantes, conseguimos $$det(Q)det(0.5A^2+A+I)det(Q)^{-1}=det(0.5A^2+A+I)=1$$ since $% $ $0.5A^2+A+I=\left(\begin{smallmatrix}1&a&\frac{ab}{2}\0&1&b\0&0&1\end{smallmatrix}\right)$

Las otras tres cuestiones son similares.