Demuestre que si$a$,$b$,$c$ son números reales no negativos tales que$a+b+c =3$, entonces$abc(a^2 + b^2 + c^2)\leq 3$

Question

Demuestre que si$ a,b,c $ son números reales no negativos tales que$a+b+c = 3$, entonces$$ abc(a^2 + b^2 + c^2) \le 3 $ $

Mi intento : probé la desigualdad AM-GM, intenté convertirla a$a+b+c$, pero creo que no puedo obtener la manipulación de$abc$.

Answer 1

Tenga en cuenta que $(ab+bc+ac)^2 \ge 3abc(a+b+c) = 9abc$

Ya que, $(ab+bc+ac)^2 = \sum\limits_{cyc} a^2b^2 + 2\sum\limits_{cyc}ab^2c \ge 3abc(a+b+c)$

Por lo tanto,$$\begin{align}abc(a^2 + b^2 + c^2) &\le \frac{1}{9}(ab+bc+ac)^2(a^2 + b^2 + c^2) \tag{1} \\&\le \frac{1}{9}\left(\frac{a^2 + b^2 + c^2+2ab+2bc+2ac}{3}\right)^3\tag{2} \\ &= \frac{(a+b+c)^6}{3^5} = 3\tag{3}\end{align}$ $

$(1)$ de aplicación de la desigualdad de Am-Gm con tres términos$$a^2+b^2+c^2,ab+bc+ca,ab+bc+ca$ $

$(2)$ Utilizando $a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) = (a+b+c)^2$

Answer 2

Deje:$$ M_p = \left(\frac{a^p+b^p+c^p}{3}\right)^\frac{1}{p} $ $ para$p>0$ y$M_0 = \sqrt[3]{abc}$. Dado que$M_p$ es una función de registro cóncavo y creciente,$$ M_0^3 M_2^2 \leq M_{\frac{4}{5}}^5 \leq M_1^{5} = 1 $ $ y la reclamación que sigue.