Probar que si , Entonces .

Question

Problema. Demuestre que si$ a,b,c > 0 $, entonces$ [(1 + a) (1 + b) (1 + c)]^{7} > 7^{7} (a^{4} b^{4} c^{4}) $.

No sé cómo resolver este problema ... Lo que se me ocurre es simplemente simplificar esta desigualdad: $$ \ left [\ frac {(1 + a) (1 + b) (1 + c)} { 7} \ right] ^ {7}> a ^ {4} b ^ {4} c ^ {4}. $$ ¿Cómo puedo proceder a resolver este problema?

Nota: Esta es una cuestión de secuencia y serie, específicamente la desigualdad AM-GM-HM ...

Answer 1

Observe$$\frac{(1+a)(1+b)(1+c)-1}{7}=\frac{a+b+c+ab+bc+ca+abc}{7} \ge \sqrt[7]{a^4b^4c^4}$ $ debido a$\text{AM-GM}$.

Concluimos

PS

Esto es equivalente a

$$ \ left [\ frac {(1 + a) (1 + b) (1 + c)} {7} \ right] ^ {7}> a ^ {4} b ^ {4} c ^ {4} . $$

Answer 2

Considera la función$f(a)=\frac{(1+a)^7}{a^4}$.

Debemos probar que$f(a)\geq 7^{7/3}$ para todos$a>0$.

Para minimizar esta función derivamos.

$f'(a)=\frac{(a+1)^6(3a-4)}{a^5}$.

Entonces, el mínimo global para$f$ en$(0,\infty)$ es$f(\frac{4}{3})=\frac{(7/3)^7}{(4/3)^4}=\frac{7^7}{3^34^4}$

Así que solo tenemos que probar$3^34^4\leq 7^{14/3}$:

Aviso $3^34^4=27\times 256=6912$

Aviso $7^{14/3}= 7^{4}\times 7^{2/3}\geq2401\times 3=7203$.

(Para ver$7^{2/3}\geq 3$ aviso$3^3\leq 49$)