¿Encuentra valores de$p$ tales que$p^2-p+1$ es cúbico?

Question

Encontrar todos los números primos tales que $p^2-p+1$ es un cúbicos número. He intentado sustituir los valores de $x$$p^2-p+1 = x^3$.

Esto me dio un par de valores, los cuales eran pequeños. Como los valores de $x$ extendieron más y más alto, fue tedioso para encontrar los valores de $p$ que satisfacen esta condición. A mi inminente horror, me di cuenta de que la mayoría de estos valores de $p$ donde, de hecho, NO de números primos.

Puede alguien me guía a través de la solución, como yo prefiero usar una mancha de la solución, en lugar de usar la fuerza bruta? Después de la solución, puede que alguien me apunte hacia los recursos para la resolución de problemas como este?

Answer 1

Cómo trata de encontrar todos los números enteros $y$ $x^3=y^2-y+1$ en su lugar? A continuación, $x^3=(y+\omega)(y+\overline\omega)$ donde $\omega=\frac12(-1+i\sqrt 3)$ es una raíz cúbica de la unidad. tenemos dos factorisations en el ring $R=\Bbb Z[\omega]$. Este anillo es una única factorización de dominio, pero tiene seis unidades de $\pm\omega^j$.

Los elementos $y+\omega$ $y+\overline\omega$ mayor común divisor $1$ o $i\sqrt3=\omega-\omega^2$. En el primer caso, $y+\omega$ es una unidad de veces un cubo, y podemos reducir a $y+\omega=(a+b\omega)^3$, $y+\omega=\omega(a+b\omega)^3$ o $y+\omega=\omega^2(a+b\omega)^3$. En el último caso, $y+\omega$ $i\sqrt3$ veces una unidad los tiempos de un cubo y, a continuación,$y+\omega=\omega^j(\omega-\omega^2)(a+b\omega)^3$.

Esto se reduce a seis de los casos. Voy a mirar en uno: $y+\omega=(a+b\omega)^3$. Esto puede ser escrito como $$\frac{2y-1+i\sqrt3}{2}=\left(\frac{c+d\sqrt{-3}}2\right)^3.$$ Por lo tanto,$4(2y-1)=c^3-9cd^2$$4=3c^2d-3d^3$. Que fácil suficiente. No hay soluciones.

Cinco casos más para ir!

Answer 2

Este es un comentario en lugar de una respuesta: la ecuación$y^2-y=x^3-1$ puede verse como una forma de Weierstrass de una curva elíptica sobre$\Bbb{Q}$ y existe una forma sistemática de calcular los puntos integrales en estas curvas elípticas, vea El libro de Silverman sobre curvas elípticas quizás. También puedes usar algunos softwares de matemáticas para ayudarte a hacer estas cosas tediosas, por ejemplo, MathSage me dijo que la única solución a tu pregunta es$(x,y)=(7,19)$. Si no te importa la prueba, esta es una opción bastante buena.

Answer 3

Aquí es una solución utilizando simples herramientas.

Nuestro punto de partida es $$p^2 - p + 1 = x^3$$ con $p$ prime, y $x$ es un número entero.

Como los primos más pequeños es de 2, tenga en cuenta que $$x^3 = p^2 - p + 1 \ge 2^2 - 2 + 1 = 3 \quad \rightarrow \quad x \ge 3^{1/3} > 1$$ $$p^2 > p^2 - p + 1 = x^3 \quad \rightarrow \quad p > x^{3/2} > x $$

Desde $p$ prime es importante, esto sugiere que debemos tratar de reorganizar la ecuación para el factor tanto como sea posible.

$$ \begin{eqnarray} p^2 - p + 1 &=& x^3 \\ p^2 - p &=& x^3 - 1 \\ p(p-1) &=& (x-1)(x^2+x+1) \end{eqnarray} $$

Debido a $p$ es el primer y divide el lado izquierdo, se debe dividir el lado derecho también. Desde $p>x$, esto significa $p$ no se puede dividir $(x-1)$ y, por tanto, $(x^2+x+1)$ debe ser un múltiplo de $p$. Vamos a llamar a este múltiple $m$.

Así que ahora tenemos dos ecuaciones $$ \begin{eqnarray} mp &=& (x^2+x+1) \\ (p-1) &=& m(x-1) \end{eqnarray} $$

Debido a $p>x$ la segunda ecuación tiene claro que $m>1$, y dado que es un número entero $m \ge 2$. Tenga en cuenta también que $(x^2 + x +1)$ no puede ser, incluso, lo que eleva el límite más allá: $m \ge 3$.

La eliminación de $p$ para obtener una ecuación cuadrática en $x$ $$ \begin{eqnarray} p &=& mx - m + 1 \\ m(mx - m + 1) &=& (x^2+x+1) \\ 0 &=& x^2 + (1-m^2)x + (m^2-m+1) \end{eqnarray} $$

Para la ecuación cuadrática para tener un número entero de la solución, el discriminante debe ser un cuadrado valor $$ \begin{eqnarray} (1-m^2)^2 - 4(m^2-m+1) &=& (1 - 2m^2 + m^4) - 4(m^2-m+1) \\ &=& m^4 - 6m^2 +4m-3 \end{eqnarray} $$

Que lo requieren para ser un cuadrado entero es bastante restrictivo, lo que es más fácil para ver si denotamos la plaza de la $(m^2 - k)^2 = m^4 -2km^2 + k^2$. El uso de este junto con el hecho de que $m \ge 3$ (lo $m^2 \ge 3m$), podemos ver $$ m^4 - 6m^2 +4m-3 < m^4 - 4m^2 - 3 < (m^2 - 2)^2 $$ y $$ m^4 - 6m^2 +4m-3 \ge m^4 - 6m^2 -3m + 18 > m^4 -8m^2 + 18 > (m^2 - 4)^2 $$ por lo tanto $$m^4 - 6m^2 +4m-3 = (m^2 - 3)^2 = m^4 - 6m^2 + 9$$ $$4m = 12 \quad \rightarrow \quad m=3$$

Poniendo ahora esta de vuelta en nuestro ecuación cuadrática para $x$ $$ 0 = x^2 + (1-m^2)x + (m^2-m+1) = x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7) $$ Como $x>1$, esto significa que la única solución es $$x=7 \quad \rightarrow \quad p=m(x-1)+1=19. $$