sobre las funciones de$L^2(0,T;H^{1}_{0} (U))$

Question

Tengo una función$u \in L^2(0,T;H^{1}_{0} (U))$ con$u' \in L^2(0,T;L^2 (U))$ y$u''\in L^{2}(0,T;H^{-1} (U))$.

Mi profesor escribió:

PS

No sé cómo concluir esta afirmación.

Me preguntaba y si defino la función.

$$ u' \in W^{1,2}(0,T; H^{-1}(U)).$ dado por$F\colon L^2(0,T;L^2 (U)) \rightarrow L^2(0,T;H^{-1}(U))$, donde$F(u) = \tilde{u}$. Puedo mostrar que$\langle \tilde{u}(t), f\rangle_{H^{-1}(U)H^{1}_{0}(U)} = \int_{0}^{T} f(x) u(t) \ dx$ es lineal y$F$. No sé si esto ayuda. Quizás esta función me ayude a ver un elemento de$\lVert F u \rVert\leq\lVert u \rVert$ en$L^2(0,T;L^2 (U))$. Puede ayudarme alguien ?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Tu argumento es correcto @Leandro. Has probado que cada elemento$v\in L^2(0,T:L^2(U))$, es un elemento de$L^2(0,T:H^{-1}(U))$. Al usar la definición de$W^{1,2}$, puede concluir que$$u'\in W^{1,2}(0,T;H^{-1}(U))$ $