Encontrar el polinomio restante después de encontrar factores complejos

Question

Quiero expresar este polinomio como un producto de factores lineales:

$x^5 + x^3 + 8x^2 + 8$

Me di cuenta de que $\pm$i fueron las raíces de la mirada en ella, por lo que dos factores deben ser$(x- i)$$(x + i)$, pero no estoy seguro de cómo iba a saber lo que el resto de polinomio sería. Para las raíces reales, por lo general se acaba de hacer uso de la división larga, pero resulta un poco confuso en este caso (al menos para mí) y me estaba preguntando si hay un método más sencillo de encontrar el resto de polinomio.

Disculpas por la pregunta básica!

Answer 1

Si divide$$ x^5 + x^3 + 8x^2 + 8$$ by $$(x-i)(x+i) = x^2+1$$ you will get $$x^3+8$$ which factors as $$(x^3+8) = (x+2)(x^2-2x+4)$$ which has a solution of $ x = -2 $

Ahora usa la fórmula cuadrática para resolver$x^2-2x+4=0$ para encontrar otras raíces y factoriza si lo deseas.

Answer 2

Si lo viste mirándolo tienes buena intuición. Cuando las raíces vienen en pares complejos, siempre se pueden combinar para encontrar un factor cuadrático con coeficientes reales. Aquí $(x+i)(x-i)=x^2+1$

Si pudieras hacer el primer bit con la intuición, estoy seguro de que puedes hacer esa división y completar la factorización.

Answer 3

También se puede hacer una división larga para polinomios complejos. Pero en este caso, sugeriría sacar los dos factores a la vez, es decir, dividir por su producto, que es$(x^2+1)$.

$(x^5+x^3+8x^2+8):(x^2+1)= x^3+8$. Fácilmente puedes factorizar este polinomio. (Insinuación: $8=2^3$.)

Answer 4

Sugerencia o: así como es posible que observe que $\,x=-2\,$ es una raíz por el Teorema de la raíz racional. Entonces si las dos raíces restantes son $\,a,b\,$, por las relaciones de Vieta $\,i+(-i)+(-2)+a+b=0 \iff a+b = 2\,$ y $\,i \cdot (-i)\cdot(-2)\cdot a \cdot b = -8 \iff a \cdot b = 4\,$, que $\,a,b\,$ son la raíz de $\,x^2 - 2 x + 4 = 0\,$.