Suela mínimo elemento: ¿por Qué no también el mínimo?

Question

Un mínimo elemento (cualquier número de los mismos) de un conjunto parcialmente ordenado $S$ es un elemento que no es mayor que la de cualquier otro elemento en $S$.

El mínimo (al menos uno) de un conjunto parcialmente ordenado $S$ es un elemento que es menor o igual que cualquier otro elemento de $S$.

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Vamos a considerar el poder establecer $\mathcal P (\{x,y,z\})$ junto con la relación binaria $\subseteq$.

El diagrama de Hasse muestra qué elemento(s) que estamos buscando:

Es fácil ver que:

• $\emptyset$ es un mínimo elemento
• $\emptyset$ es el mínimo

Ahora bien, si quitamos $\emptyset$ y considerar la posibilidad de $\mathcal P (\{x,y,z\})\setminus \emptyset$ en lugar de ello, se obtiene el siguiente:

• $\{x\}$, $\{y\}$ y $\{z\}$ son mínimos elementos
• no hay un mínimo

(1) sabemos que el mínimo es único y siempre es el mínimo elemento.

(2) Y en el ejemplo anterior, parece que, si un único mínimo elemento existe, es siempre el mínimo.

Pero he leído que (2) es falsa. Por qué?

Answer 1

El poset sugerido por el diagrama de hasse de abajo tiene sólo una mínima elemento.

                                

Answer 2

Un contraejemplo para la declaración es $\Bbb Z \cup \{c\}$ donde $c$ no es comparable a la de cualquier número entero. $c$ es entonces un mínimo elemento, pero no hay un mínimo, porque una mínima debe ser comparable a todo lo demás.

Answer 3

En general, podríamos decir que:

Si hay un único mínimo elemento, y todos los no-vacío subconjunto tiene un mínimo elemento, entonces hay un mínimo (y es igual a la única mínimo elemento).

que es fácilmente constatable - supongamos que en el poset $(S,\leq)$ nuestra única mínimo elemento es $m$ y consideramos a $S'\subseteq S$ definido por $\{s\in S: m\not\leq s$} - así que los elementos incomparable con $m$. Esto no tiene un mínimo elemento $m'$, ya que si lo hacía, $m'$ claramente sería mínima en $(S,\leq)$ y distintos de los de $m$. Sin embargo, esto, en conjunción con la condición de que todos los no-vacío subconjunto debe tener un mínimo elemento implica que, desde el $S'$ no tiene un mínimo elemento, vacío, y por lo tanto $m$ es comparable con todo y por lo tanto un mínimo.

Sin embargo, este es un muy fuerte en la condición que se conoce generalmente como fundamento y significa que no infinito descendente cadenas pueden existir en el poset. Las otras respuestas proporcionar ejemplos explícitos donde hay un infinito descendente de la cadena, que se opone a la posibilidad de un mínimo elemento, mientras que no tener un mínimo de elementos, que, en cierto modo, se unió con un nuevo mínimo elemento.

Una más débil, pero también condición suficiente sería

Si hay un único mínimo elemento, y, para cada subconjunto $S'\subseteq S$, hay un elemento $m$ tal que no es $s'\in S$ $s'<m$ y existe un elemento $s'\in S$ tal que $m\leq s'$, $S$ tiene un mínimo elemento.

que al menos se aplica a posets como la típica orden en $[0,\infty)$.