Pregunta sobre el valor principal de Cauchy integral.

Question

Motivado por esta página wiki , pongo mi pregunta aquí:

¿Cómo probar$$\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+} \int\nolimits_a^b \frac{x^2}{x^2+\varepsilon^2} \, \frac{f(x)}{x}dx=p.v.\int_a^b \frac{f(x)}{x}dx$ $ donde$a<0<b$?

La prueba está parcialmente hecha en palabras en ese artículo. Lo que no entendí es cómo elaborar símbolos matemáticos.

Answer 1

Deje $c > 0$ ser tal que $a < -c < c < b$. Observar que $$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \bigg(\int_a^{-c}{f(x) \over x} {x^2 \over x^2 + \epsilon^2}\,dx + \int_{c}^b {f(x) \over x} {x^2 \over x^2 + \epsilon^2}\,dx\bigg) = \int_a^{-c}{f(x) \over x} \,dx + \int_{c}^b {f(x) \over x}\,dx $$ (Podemos simplemente enchufe en $\epsilon = 0$ cuando tomamos los límites de aquí, ya que los denominadores no son nunca de cero.) Así que basta para reemplazar a $a$$-c$$b$$c$; en otras palabras, es suficiente para mostrar que $$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{\epsilon < |x| < c} {f(x) \over x} {x^2 \over x^2 + \epsilon^2}\,dx = p.v. \int_{-c}^c {f(x) \over x}$$ Desde ${\displaystyle {f(0) \over x}{x^2 \over x^2 + \epsilon^2}}$ es una función impar y el dominio de integración es simétrico con respecto al $x = 0$, se puede restar de el integrando en la mano izquierda sin cambiar el límite. Por lo que este límite es igual a $$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{\epsilon < |x| < c} {f(x) - f(0) \over x} {x^2 \over x^2 + \epsilon^2}\,dx$$ Tenga en cuenta que$|{f(x) - f(0) \over x}| < \sup_x|f'(x)|$,$|{x^2 \over x^2 + \epsilon^2}| < 1$. Así que el integrando de arriba es uniformemente acotada y uno puede simplemente tomar el límite de $\epsilon$ va a cero, usando el teorema de convergencia dominada por ejemplo. El resultado es $$\int_{|x| < c} {f(x) - f(0) \over x} \,dx$$ $$= \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{\epsilon < |x| < c} {f(x) - f(0) \over x} \,dx$$ Ahora podemos ir en la dirección inversa, y agregar la función odd ${f(0) \over x}$ a el integrando, y el de arriba es igual a $$= \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{\epsilon < |x| < c} {f(x) \over x} \,dx$$ $$= p.v. \int_{-c}^c {f(x) \over x}\,dx$$