Álgebra $A$ y su espectro de Gelfand

Question

Dejemos que $A$ sea el conjunto de todas las funciones $f$ en $\mathbb{R}$ de la forma $$ f(x)=d+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k(t)dt,\qquad\quad x\in\mathbb{R}, $$ donde $d\in\mathbb{C}$ y $k\in L_1([0,\infty])$ . La norma sobre $A$ se define por

$$ \|f\|:=|d|+\int\limits_0^\infty |k(t)|dt. $$

Quiero demostrar que $A$ es un álgebra de Banach conmutativa y encontrar su espectro de Gelfand

Necesitamos las siguientes propiedades para demostrar que $A$ es un álgebra de Banach conmutativa:

1. conmutatividad
2. asociatividad
3. distributividad
4. propiedad de multiplicación escalar
5. la norma del producto es menor o igual que el producto de las normas,

Las cuatro primeras propiedades son fáciles de demostrar:

1. Dejemos que $f,g\in A$ entonces \begin{align} f(x)g(x)&=\left(d+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k(t)dt\right)\left(d_1+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k_1(t)dt\right)\\ &=\left(d_1+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k_1(t)dt\right)\left(d+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k(t)dt\right)\\ &=g(x)f(x). \end{align}

2. Dejemos que $f,g,h\in A$ entonces \begin{align} (f(x)g(x))h(x)&=\left(\left(d+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k(t)dt\right)\left(d_1+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k_1(t)dt\right)\right)\left(d_2+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k_2(t)dt\right)\\ &=\left(d+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k(t)dt\right)\left(\left(d_1+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k_1(t)dt\right)\left(d_2+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k_2(t)dt\right)\right)\\ &=f(x)(g(x)h(x)) \end{align}

3. Dejemos que $f,g,h\in A$ entonces \begin{align} f(x)(g(x)+h(x))&=\left(d+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k(t)dt\right)\left(\left(d_1+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k_1(t)dt\right)+\left(d_2+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k_2(t)dt\right)\right)\\ &=f(x)g(x)+f(x)h(x) \end{align} Esto implica que $(g(x)+h(x))f(x)=g(x)f(x)+h(x)f(x)$

4. Dejemos que $f,g\in A$ y $\alpha\in\mathbb{R}$ entonces \begin{align} \alpha (f(x)g(x))&=\alpha\left(\left(d+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k(t)dt\right)\left(d_1+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k_1(t)dt\right)\right)\\ &=(\alpha f(x))g(x)=f(x)(\alpha g(x)). \end{align}

5. Dejemos que $f,g\in A$ entonces \begin{align} f(x)g(x)&=\left(d+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k(t)dt\right)\left(d_1+\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k_1(t)dt\right)\\ &=dd_1+d\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k_1(t)dt+d_1\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k(t)dt+\left(\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k(t)dt\right)\left(\int\limits_{0}^{\infty}e^{ixt}k_1(t)dt\right) \end{align} Aquí me atasco, no puedo demostrar que $\|fg\|\leq\|f\|\|g\|$ ¿alguna pista?

En segundo lugar, tengo algunas dificultades para dominar el concepto de espectro de Gelfand. ¿Cómo puedo encontrar el espectro de Gelfand de $A$ ?

Se agradece cualquier sugerencia.

Answer 1

Lo primero que hay que demostrar es que la descomposición es única. Es decir, si $f$ es continua en $\mathbb{R}$ tiene tal representación, entonces $d$ y $k$ son únicos ( $k$ es único como elemento de $L^1[0,\infty)$ .) De forma equivalente, si $f=d+\int_{0}^{\infty}e^{ixt}k(t)dt$ es el $0$ función en $\mathbb{R}$ entonces $d=0$ y $k=0$ como elemento de $L^1[0,\infty)$ .

Una vez que tengas eso, tienes que demostrar que $A$ es cerrado bajo adición, multiplicación escalar y multiplicación. Para demostrar que es cerrado bajo la multiplicación de funciones, supongamos $f_1,f_2$ son dos de estas funciones, y escribe $$ f_1f_2 = d_1d_2+d_1f_2+d_2f_1+\int_{0}^{\infty}e^{ixt}k_1(t)dt\int_{0}^{\infty}e^{ixt}k_2(t)dt \\ = d_1d_2+\int_{0}^{\infty}\left(d_1k_2(t)+d_2k_1(t)+\int_{0}^{t}k_1(t-s)k_2(s)ds\right)e^{ixt}dt. $$ Demuestre que la expresión entre paréntesis es un $L^1[0,\infty)$ función. Demostrando que $A$ es cerrado bajo la multiplicación escalar y la adición de funciones no es difícil.

Todas las propiedades de las operaciones que se derivan de las operaciones ordinarias de las funciones complejas sobre $\mathbb{R}$ (1),(2),(3),(4). La propiedad (5) requiere la propiedad de convolución: $$ \left\|\int_{0}^{t}k_1(t-s)k_2(s)ds\right\|_{L^1} \le \|k_1\|_{L^1}\|k_2\|_{L^1}. $$ Esto da la identidad de la norma requerida: \begin{align} \|f_1f_2\|_{A} & = |d_1||d_2|+\left\|d_1k_2(t)+d_2k_1(t)+\int_{0}^{t}k_1(t-s)k_2(s)d\right\|_{L^1} \\ & \le |d_1||d_2|+|d_1|\|k_2\|_{L^1}+|d_2|\|k_1\|_{L^1}+\|k_1\|_{L^1}\|k_2\|_{L^2} \\ & = (|d_1|+\|k_1\|_{L^1})(|d_2|+\|k_2\|_{L^1}) \\ & = \|f_1\|_A\|f_2\|_A \end{align}

Con respecto al espectro ...
Las funciones $f \in A$ tienen extensiones holomorfas al semiplano superior, y las evaluaciones de los puntos en el semiplano superior tienen la forma $$ E_z(f) = d+\int_{0}^{\infty}e^{izt}k(t)dt,\;\;\;\Im z \ge 0. $$ Todos ellos son evaluaciones $E_z$ están en el espectro de Gelfand, y ninguna de estas evaluaciones puede ser $0$ para un elemento invertible. La función $\tilde{f}(z)=E_z(f)$ es holomorfa en el semiplano superior abierto, tiene límites radiales en $\infty$ como es continua en el semiplano superior cerrado.