El subgrupo Frattini contiene una potencia de un determinado subgrupo

Question

Esto es de un artículo de Hall de 1961; probablemente sea una de las observaciones más triviales de ese artículo, pero no consigo entender el razonamiento.

Sea G algún grupo y sea A un p-subgrupo abeliano normal de G para algún primo p. Queremos demostrar que $A^p$ , el subgrupo de potencias p-ésimas de elementos de A, está contenido en el subgrupo Frattini de G.

Por lo tanto, dejemos que M sea un subgrupo maximal en G que no contenga a A y denotemos $N=M\cap A$ . He conseguido demostrar que N es normal en G y que A/N es un subgrupo normal mínimo de G/N. Así que A/N no puede tener ningún subgrupo característico propio no trivial. Por lo tanto $A^pN=N$ en cuyo caso hemos terminado, o $A^pN=A$ . No sé a dónde ir desde aquí. Supongo que el hecho de que A sea un grupo p debe entrar en juego en alguna parte, ya que todo lo anterior funciona para cualquier exponente n en lugar de p.

Answer 1

El subgrupo Frattini de $G$ es también la intersección de los subgrupos normales máximos (propios) de $G$ . Dejemos que $M$ sea un subgrupo de este tipo. Si $M \cap A = A$ no hay problema. Por lo tanto, asuma $M$ no contiene $A$ . Dejemos que $\{g_1,\ldots,g_k\}$ sea un subconjunto máximo de $A$ tal que $M' = \langle M , g_1, \ldots, g_k \rangle$ no contiene $A$ . Entonces $M'$ se normaliza con $A$ (la suposición de que $A$ es abeliano), por lo que para cualquier $g \in A \setminus \left( M' \cap A\right)$ , $\langle M',g \rangle = \left\{m'g^k\ |\ m' \in M',\ k \in \mathbb{Z} \right\}$ . Por la maximalidad de nuestro subconjunto de $A$ para cualquier $a \in A$ , $a = m'g^k$ para algunos $m' \in M'$ y algunos $k \in \mathbb{Z}$ . $m'=ag^{-k} \in A$ , por lo que obtenemos que $M' \cap A$ es un subgrupo máximo de $A$ por lo que contiene $A^p$ (el subgrupo Frattini de un $p$ -grupo $A$ es igual a $A^p[A,A]$ que es igual a $A^p$ en este caso). Dado que $M'$ no contiene $A$ , $M'$ es un subgrupo propio de $G$ que contiene $A^p$ y $M$ . Desde $M = \cap_{g \in G} gM'g^{-1}$ por maximalidad, y $gA^pg^{-1}=A^p$ para cualquier $g \in G$ , $A^p \subset M$ y ganamos.

Debe haber una prueba más fácil de esto.