Si $\lim_{n\to\infty} x_n =0$ entonces $\{f(x_n)\}$ es Cauchy?

Question

Para cada número entero positivo $n$ , dejemos que $x_n$ sea un número real en $\left(0,\frac{1}{n}\right)$ . ¿Es cierto lo siguiente?

Si $f$ es una función continua de valor real definida en $(0,1)$ entonces $\{f(x_n)\}_{n=1}^\infty$ es una secuencia de Cauchy.

No veo por qué esto está mal. Mi pensamiento rápido fue que, si $x_n$ es Cauchy y $f$ es continua, entonces $f(x_n)$ también es Cauchy. Estoy muy seguro de que esto es cierto para el dominio compacto. ¿Es algo que va mal con $x=0$ ? ¿Podría alguien dar un contraejemplo?

Answer 1

Una pista: Prueba con $f(x)=\frac{1}{x}$ y ver qué pasa.

Si $f$ eran continuas en $[0,1)$ entonces estarías bien, pero porque $0$ no tiene por qué ser del dominio de $f$ puede comportarse "arbitrariamente mal" como $x \to 0$ .

Answer 2

Toma $f(x) = \ln x$ y $x_n = \dfrac{1}{n+1}$ . Usted ve que $f$ es continua en $(0,1)$ y $0 < x_n < \dfrac{1}{n}$ y $f(x_n) = - \ln(n+1) \to -\infty$ por lo que no es Cauchy.

Answer 3

Esto sería cierto si $f$ es uniformemente continua (básicamente, una función que mapea secuencias de Cauchy en secuencias de Cauchy).

Tienes razón en estar seguro si el dominio es compacto, porque una función real continua sobre un compacto es uniformemente continua.

Tenga en cuenta que $(x_n)$ converge a $0$ por el teorema del apretón, por lo que es Cauchy. Ahora sólo necesitas una función que no sea uniformemente continua en $(0,1)$ y una que tiene un límite infinito en $0$ es suficiente. Otro ejemplo es $f(x)=\sin(1/x)$ y $x_n=1/(2n)$ porque $$ \lim_{n\to\infty}\sin(2n) $$ no existe (no es muy fácil de mostrar, sin embargo, pero estoy seguro de que se puede encontrar en el sitio).