por qué$g_n$ se puede medir en la prueba del Lema de Fatou

Question

Lema Fatou: Supongamos que$\{f_n\}$ es una secuencia de funciones medibles con$f_n \geq 0$. Si$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)$ para ae$x$, entonces$$\int f \leq \liminf_{n\rightarrow\infty}\int f_n

Prueba: suponga que$0\leq g \leq f$, donde$g$ está delimitado y se admite en un conjunto$E$ de medida finita. Si configuramos$g_n(x)=\min(g(x),f_n(x))$, entonces$g_n$ es mensurable. etc.

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No sé por qué$g_n$ es mensurable. porque el autor no asumió que$g$ es mensurable. ¿Alguien puede explicar por qué? muchas gracias

Answer 1

Se supone que$g$ es mensurable, pero el autor no lo dijo explícitamente.