Demostración algebraica de una identidad de suma binomial.

Question

Me encontré con esta identidad al trabajar con las particiones de energía de los sólidos de Einstein. Tengo una prueba combinatoria, pero me pregunto si existe una prueba algebraica. $$\sum_{q=0}^N\binom{m + q - 1}{q}\binom{n + N - q - 1}{N - q} = \binom{m + n + N - 1}{N}$$ He intentado la inducción, pero la Identidad de Pascal no puede reducir simultáneamente el argumento superior y el inferior para una prueba inductiva.

Para los interesados una prueba combinatoria de la identidad puede darse como sigue: Consideremos las formas de distribuir $N$ quanta de energía a un sistema de $n + m$ osciladores (donde cada oscilador puede tener cualquier número de cuantos). Esto equivale a la pregunta de cuántas formas de poner $N$ objetos en $n + m$ cajas. Según el método tradicional de estrellas y barras, el total viene dado por $$\binom{m + n + N - 1}{N}$$ que es el lado derecho. Alternativamente, considere la partición de las unidades de energía entre el primer $m$ y el último $n$ osciladores. Dar $q$ unidades de energía a la primera $m$ osciladores. Entonces queda $N - q$ unidades de energía para este último $n$ . En conjunto, el número de estados para esta partición particular es $$\binom{m + q - 1}{q}\binom{n + N - q - 1}{N - q}$$ Sumando todas las particiones se obtiene el lado izquierdo.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Dejemos que $$f_n(z)=\sum_{q=0}^\infty \binom {n+q-1}q z^q$$

Reclamación: Esto es $(1-z)^{-n}$ .

Entonces $f_n(z)f_m(z) = f_{n+m}(z)$ . Pero el lado izquierdo de su fórmula es el coeficiente de $z^N$ en $f_n(z)f_m(z)$ y el lado derecho es el coeficiente de $f_{n+m}(z)$ .

La prueba de la afirmación es la expansión binomial generalizada, y utiliza el hecho de que $$\binom {-n} q = (-1)^q \binom {n+q-1}{q}$$

Alternativamente, puedes reescribir tu declaración como:

$$\sum_{q=0}^N \binom {-m} q \binom {-n}{N-q} = \binom {-(m+n)}q$$

Answer 2

Es posible una demostración directa por inducción, siempre que se induzca sobre lo correcto, esencialmente $n+N$ .

Para simplificar la notación, dejemos que $a=m-1$ , $b=n+N-1$ y $c=n-1$ entonces la ecuación

$$\sum_{q=0}^N\binom{m + q - 1}{m-1}\binom{n + N - q - 1}{n-1} = \binom{m + n + N - 1}{N}$$

puede (tras aplicar la simetría a cada binomio) reescribirse como

$$\sum_{k=0}^b\binom{a+k}a\binom{b-k}c=\binom{a+b+1}{a+c+1}\;.\tag{1}$$

Voy a mostrar por la inducción en $b$ que para cada $b\ge 0$ , $(1)$ es válida para todos los $a,c\ge 0$ .

Cuando $b=0$ , ambos lados de $(1)$ son $1$ si $c=0$ y $0$ de lo contrario. Ahora supongamos que $(1)$ se mantiene para algunos $b\ge 0$ . Entonces

$$\begin{align*} \sum_{k=0}^{b+1}\binom{a+k}a\binom{b+1-k}c&=\sum_{k=0}^{b+1}\binom{a+k}a\left(\binom{b-k}c+\binom{b-k}{c-1}\right)\\ &=\sum_{k=0}^b\binom{a+k}a\binom{b-k}c+\sum_{k=0}^b\binom{a+k}a\binom{b-k}{c-1}\\ &=\binom{a+b+1}{a+c+1}+\binom{a+b+1}{a+c}\\ &=\binom{a+b+2}{a+c+1}\;. \end{align*}$$