Estoy tratando de resolver el siguiente problema:
Si $p>q$ es de los primeros, muestran que un grupo de $g$ orden $pq$ es soluble. Si $q$ no divide $p-1$, muestran que $pq$ es cíclico. Demostrar que dos no abelian subgrupos de orden $pq$ son isomorfos.
Progreso:
Vamos a demostrar que $G$ es soluble. Deje $n_p$ el número de $p$-Sylows de $G$ $q$ el número de $q$-Sylows de $G$ Por los teoremas de Sylow, sólo hay un $p$-Sylow desde $n_p\equiv 1 (mod\,p)$$n_p | q<p$. Por lo tanto, sólo existe una $p$-Sylow normal subgrupo $P$. Por lo tanto, sabemos que: $\{e\}\unlhd P \unlhd G$. $P/\{e\}\approx P$ es abelian desde $P$ es cíclico (debido a $|P|=p$) y $G/P$ es abelian desde $|G/P|=q$.
Ahora supongamos $q$ no divide $p-1$. Sabemos que $q|(n_q-1)$ y $n_q|p$, por lo $n_q=1$ o $p$. $n_q$ no puede ser $p$ desde $q$ no divide $p-1$. Por lo tanto, no es sólo uno de los $Q$ $q$-subgrupo de Sylow y $G\approx P \times Q \approx \mathbb Z_p\times \mathbb Z_q$. Desde $\mathbb Z_{pq}$ es abelian es el producto de todos sus subgrupos de Sylow $P'$$Q'$, por lo $\mathbb Z_{pq}=P'\times Q'\approx \mathbb Z_p\times \mathbb Z_q$. De ello se desprende que $G$ es cíclico.
Queda por demostrar que dos no abelian grupos de orden $pq$ son isomorfos. Que es donde estoy atascado.
Estrategia: Vamos a $G, H$ $|G|=|H|=pq$ dos no abelian grupos. Por el párrafo anterior, es fácil ver que ambos tienen una sola $p$-Sylow y $p$ $q$-Sylows. Traté de construir un isomorfismo mediante el envío de un generador de cada uno de estos subgrupos de $G$ a un generador de un subgrupo de $H$, pero no estoy de gestión para demostrar que funciona.
Alguien me puede ayudar con esta última parte y decir si mi solución para el anterior partes está bien?
