¿Cuál es la conexión entre el divisor excepcional y el espacio tangente proyectivizado?

Question

Esta es una tarea problema y por lo tanto quiero un poco de pista, pero no es una respuesta completa.

Deje $P$ ser un espacio proyectivo y $X\subset P$ ser un no-singular variedad. Demostrar que la colección de $L_p$ de las líneas contenidas en $X$ que pasan a través de $p$ define un subconjunto cerrado de la projectivized el espacio de la tangente $\mathbb{P}(T_p X)$.

En otras palabras, queremos demostrar que la definen $L_p$ define un subconjunto cerrado de $\mathbb{P}(T_p X)$:$$L_p = \{l:p\in l\subset X, l\text{ is a 1-dimensional linear subspace in P}\}.$$

No puedo ver la conexión entre el$L_p$$\mathbb{P}(T_p X)$. Por favor, intenta explicar la conexión mediante el conocimiento elemental.

Gracias.

Answer 1

¿Ven como una línea a través de $P$, acostado en $X$, da una dirección de la tangente a$X$$P$? Este es el primer paso, y si no lo ven de inmediato, trate de dibujar una imagen de una superficie con una línea de mentir sobre ella (por ejemplo, un quadric en el espacio), y luego ver si lo puedes ver.

Agregado: Como se mencionó en los comentarios (suponiendo que estamos trabajando con el cierre de los puntos de variedades a través de una alg. campo cerrado $k$), si $f : X \to Y$ es una de morfismos y $x \in X$, obtenemos un inducido de morfismos $f_*: T_x X \to T_y Y.$

Ahora aplicar esta con el origen de $X$ siendo una línea de $L$ a través de $p$ y acostado en $X$, el objetivo de la $Y$$X$, e $f$ es la inclusión $L \subset Y$. Y, por supuesto, establecer $x = y = p$.

Entonces tenemos una morfismos $T_p L \to T_p X.$

(a) Muestran que cuando se $f$ es un cerrado de inmersión, los morfismos $f_*$ es una incrustación. En particular, en nuestro caso, vemos que $T_pL$ incrusta en $T_p X$.

(b) ¿Cuál es $T_pL$?

(c) Poner (a) y (b) para hacer un progreso sustancial en su pregunta.