¿Cómo resuelvo tal logaritmo?

Question

Entiendo que

$\log_b n = x \iff b^x = n$

Pero todos los ejemplos que veo son con valores que, naturalmente, sé cómo calcular (como$2^x = 8, x=3$)

¿Y si no lo hago? Por ejemplo, ¿cómo resuelvo para$x$ cuando:

PS

PS

Answer 1

El logaritmo $\log_{b} (x)$ puede ser calculada a partir de los logaritmos de $x$ $b$ con respecto a un resultado positivo de la base de $k$, utilizando la siguiente fórmula:

$$\log_{b} (x) = \frac{\log_{k} (x)}{\log_{k} (b)}.$$

Así que sus ejemplos puede ser resuelto de la siguiente manera con una calculadora:

$$x = \log_{1.03} (2) = \frac{\log_{10} (2)}{\log_{10} (1.03)} = \frac{0.301}{0.013} = 23.450, $$

$$x = \log_{8} (33) = \frac{\log_{10} (33)}{\log_{10} (8)} = \frac{1.519}{0.903} = 1.681.$$

Si usted sabe que $b$ $x$ son tanto los poderes de algunos de los $k$, entonces usted puede evaluar el logaritmo sin una calculadora por el poder de la identidad de los logaritmos, por ejemplo,

$$x = \log_{81} (27) = \frac{\log_{3} (27)}{\log_{3} (81)} = \frac{\log_{3} (3^3)}{\log_{3} (3^4)} = \frac{3 \cdot \log_{3} (3)}{4 \cdot \log_{3} (3)} = \frac{3}{4}.$$

Answer 2

Método 1: usar una calculadora

Método 2 (más divertido):$\log_b a=\frac{\ln b}{\ln a}$

Para calcular los registros naturales, si$|x|<1$ usa la serie de potencias$\ln (x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...$ y, si no, encuentra el registro del recíproco y resta de cero. Las potencias de$x$ se pueden calcular convolucionando como series de potencias en$10$.

Answer 3

En realidad no hay nada que resolver aquí. Tiene una expresión exacta para$x$ en cada caso; es posible que no sepa exactamente a qué número corresponde, al igual que es posible que no sepa cuál es la raíz cuadrada de tres iguales cuando resuelve algo como$x^2=3$, pero Sigue siendo solo un número. En el primer caso, sería la potencia a la que subo 1.03 para obtener 2, que es aproximadamente 23.45.

Answer 4

$$\log_bn=\frac{\ln n}{\ln b}=\frac{\log_{10}n}{\log_{10}b}=\frac{\log_2n}{\log_2b}=\ldots$$ Edit: Ahora que se añadió en un comentario:

Quiero encontrar el valor sin una calculadora.

...Que es completamente nuevo sobre la cuestión.

Para obtener $x=\log_{1.03}2$, uno podría calcular las sucesivas potencias de $1.03$. Si $1.03^n\lt2\lt1.03^{n+1}$,$n\lt x\lt n+1$. El resto depende de tu habilidad para calcular los $1.03^n$ $n$ en el $20$-$30$ la gama... pero esta rendimientos $n=23$.

Otro método es utilizar la potencia de la serie, en este caso $x=y/z$$y=\ln2$$z=\ln1.03$. El uso de la expansión de la $\log1+t=\sum\limits_{n\geqslant1}(-1)^{n-1}\frac{t^n}n$, se obtiene $$ y=-\ln\left(1-\tfrac12\right)=\sum_{n\geqslant1}\frac1{n2^n},\qquad z=\ln(1+.03)=\sum\limits_{n\geqslant1}(-1)^{n-1}\frac{(.03)^n}n. $$ Manteniendo $9$ términos en $y$ $2$ términos en $z$ produce un error de en la mayoría de las $10^{-4}$.

Answer 5

Comenzando con:$$\log_{1.03} 2 = x$$This is exactly the same as $$1.03^x=2$$ now take logarithms of both sides$$x \times \log(1.03)=\log(2)$ $ Ahora , usa tu calculadora