Estoy tratando de calcular el de Laplace-Beltrami de la función $u(r,\varphi,\theta) = 12\sin(3\varphi)\sin^3(\theta)$ en una unidad de la esfera. Tenga en cuenta que $\varphi$ es el azimut, es decir, $\varphi \in [0,2\pi]$ $\theta$ de inclinación, es decir,$\theta \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$. Instructivo para los efectos, me gustaría hacer este paso a paso.
La de Laplace-Beltrami de $u$ se define como
$$\Delta u := \mathrm{div} (\mathrm{grad} \; u).$$
Ya que estamos hablando de una superficie (la esfera), supongo que deberíamos utilizar el gradiente superficial de $u$, que se define como
$$\nabla_S u := \nabla u - \vec{n}(\vec{n} \cdot \nabla u).$$
El operador gradiente en coordenadas esféricas se define como
$$\nabla := \frac{\partial }{\partial r} \vec{e_r} + \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial \theta} \vec{e_\theta} + \frac{1}{r\;\sin(\theta)} \frac{\partial }{\partial \varphi} \vec{e_\varphi},$$
que se traduce en
$$\nabla u = 0 \vec{e_r} + \frac{1}{r} 36 \sin(3\varphi) \sin^2(\theta) \cos(\theta) \vec{e_\theta} + \frac{1}{r} 36 \cos(3\varphi) \sin^2(\theta) \vec{e_\varphi}.$$
Ahora, no estoy muy seguro acerca de la unidad normal $\vec{n}$ sobre la esfera. Pensé que solo sería un ser $\vec{e_r}$, pero que no puede ser correcto, ya que en ese caso el producto interior $\vec{n} \cdot \nabla u$ es igual a cero (y por tanto el gradiente superficial sería igual a la regular de gradiente). Sólo para estar seguro, el producto interior de una esfera de coordenadas se define como $a \cdot b = g_{ij} a^i b^j$ - el uso de la notación de Einstein - con la métrica $g$ se define como
$$\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0\\ 0 & 0 & r^2 \sin^2(\theta) \end{array}\right),$$
la correcta? Desde el esférico sistema de coordenadas de mano derecha, tomando el producto cruz de los vectores tangente $\vec{e_\varphi}$ $\vec{e_\theta}$ resultados en $\vec{e_r}$. Podría alguien donde me estoy equivocando?
El siguiente es de la divergencia. Supongo que hay algo así como la superficie de la divergencia, pero no pude encontrar mucho acerca de él (todas las referencias son la mayoría de la recepción). Este sería el resultado en $\Delta_S u = \mathrm{div}_S (\nabla_S u)$.
Sería genial si alguien pudiera ayudar a completar esta elaboración. El resultado final de la $\Delta_S u$ debe $-12 u$.
[Editar]
El uso de los regulares de la divergencia operador para esférica coordinar el establecimiento, definido como
$$\nabla \cdot := \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \vec{e_r} + \frac{1}{r \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} \sin(\theta) \vec{e_\theta} + \frac{1}{r \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \varphi} \vec{e_\varphi},$$
obtenemos (sin el uso de la métrica $g$ como se define más arriba)
$$\frac{1}{r^2 \sin(\theta)} \left( 36 \sin(3\varphi) \left\{ 3 \sin^2(\theta) \cos^2(\theta) - \sin^4(\theta) \right\} \right) + \frac{1}{r^2 \sin(\theta)} \left( -108 \sin(3\varphi) \sin^2(\theta) \right).$$
En el caso de la métrica debe ser utilizado (no estoy seguro acerca de esto), el resultado es
$$\left( 36 \sin(3\varphi) \left\{ 3 \sin(\theta) \cos^2(\theta) - \sin^3(\theta) \right\} \right) + \left( -108 \sin(3\varphi) \sin^3(\theta) \right).$$
Ya que la solución debe ser $-12u = -144 \sin(3\varphi) \sin^3(\theta)$, no estoy seguro de cómo debería deshacerse del plazo $108 \sin(3 \varphi) \sin(\theta) \cos^2(\theta)$. Nadie?
